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其次节 函数的定义域与值域
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．函数f(x)＝ln＋x的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析 要使函数有意义，则有
即解得x>1.
答案 B
2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )
A．y＝
B．y＝(x∈(0，＋∞))
C．y＝(x∈N)
D．y＝
解析 选项A中y可等于零；选项B中y明显大于1；选项C中x∈N，值域不是(0，＋∞)；选项D中|x＋1|>0，故y>0.
答案 D
3．函数y＝2－的值域是( )
A．[－2,2] B．[1,2]
C．[0,2] D．[－，]
解析 －x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4,0≤≤2，－2≤－≤0,0≤2－≤2，所以0≤y≤2.
答案 C
4．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 若m＝0，则f(x)＝的定义域为R；若m≠0，则Δ＝16m2－12m＜0，得0＜m＜，综上可知，所求的实数m的取值范围为.选D.
答案 D
5．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
解析 由题意，得⇒0≤x＜1，选B.
答案 B
6．已知函数f(x)＝的值域为[－2,2]，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．[0,3]
C．[－3,0] D．(－3,0)
解析 当－3≤x≤0时，f(x)∈[－2,2]；
当0<x≤1时，f(x)∈(1＋a,2＋a]．
令1＋a≥－2,2＋a≤2，解得－3≤a≤0.
答案 C
二、填空题
7．函数y＝＋的定义域是________．
解析 由得则
所以定义域是{x|－1≤x<1，或1<x<2}．
答案 {x|－1≤x<1，或1<x<2}
8．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域是________．
解析 ∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，
∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，
∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
答案 [－1,2]
9．(2021·沈阳质量检测)定义运算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为________．
解析 ∵x2≥0且当0≤x≤2时，2x－x2≥0；
当x<0或x>2时，2x－x2<0，
∴f(x)＝x2(2x－x2)
＝
当x∈[0,2]时，0≤f(x)≤4；
当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，
∴f(x)的最大值是4.
答案 4
三、解答题
10．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝－；
(2)y＝log2(－x2＋2x)；
(3)y＝e.
解 (1)要使函数y＝－有意义，则
∴0≤x≤1.
即函数的定义域为[0,1]．
∵函数y＝－为减函数，
∴函数的值域为[－1,1]．
(2)要使函数y＝log2(－x2＋2x)有意义，则－x2＋2x＞0，
∴0＜x＜2.
∴函数的定义域为(0,2)．
又∵当x∈(0,2)时，－x2＋2x∈(0,1]，
∴log2(－x2＋2x)≤0.
即函数y＝log2(－x2＋2x)的值域为(－∞，0]．
(3)函数的定义域为{x|x≠0}，
函数的值域为{y|0＜y＜1或y＞1}．
11．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a，b的值．
解 ∵f(x)＝(x－1)2＋a－，
∴其对称轴为x＝1，即函数f(x)在[1，b]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，①
f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b，②
又b>1，由①②解得
∴a，b的值分别为，3.
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
解析 由于解得－2≤x≤2且x>－1且x≠0，所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．
答案 B
2．已知函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围是________．
解析 由题意可得a≤|x－1|－|x－2|恒成立，因此只需求f(x)＝|x－1|－|x－2|的最小值，而f(x)min＝－1，∴a≤－1.
答案 (－∞，－1]
3．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析 依题意，h(x)＝
当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，
当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
∴h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
答案 1
4．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.
(1)求f(1)的值；
(2)推断f(x)的单调性并加以证明；
(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．
解 (1)∵当x>0，y>0时，f＝f(x)－f(y)，
∴令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.
(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝f，
∵x2>x1>0，∴>1，∴f>0.
∴f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)．
∵f(4)＝2，由f＝f(x)－f(y)，
知f＝f(16)－f(4)，∴f(16)＝2f(4)＝4，
∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．
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