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第一节 函数及其表示
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是( )
A．y＝ B．y＝()
C．y＝lg10x D．y＝2log2x
解析 y＝＝x(x≠0)；y＝(x)＝x(x≥0)；
y＝lg10x＝x(x∈R)；y＝2log2x＝x(x＞0)．
答案 C
2．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析 依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2，
∵2x＞0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，
∴选A.
答案 A
3．若f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝( )
A. B.
C. D.－1
解析 令＝t，t≠0且t≠1，则x＝，
由于f＝，所以f(t)＝，
化简得：f(t)＝，
即f(x)＝(x≠0且x≠1)．
答案 B
4．(2022·安徽名校联考)若函数f(x)＝则f＝( )
A．9 B.
C．－9 D．－
解析 ∵f＝log4＝－2，
∴f＝f(－2)＝3－2＝，选B.
答案 B
5．(2022·江西卷)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．－1
解析 由题意可知f[g(1)]＝1＝50，得g(1)＝0，则a－1＝0，即a＝1.故选A.
答案 A
6．(2021·太原市测评)已知f(x)＝
若f(2m－1)<，则m的取值范围是( )
A．m> B．m<
C．0≤m< D.<m≤1
解析 由题得或
解得<m≤1，选D.
答案 D
二、填空题
7．已知f(2x＋1)＝3x－2，且f(a)＝4，则a的值是________．
解析 令2x＋1＝t，则x＝，∴f(t)＝－2，即f(x)＝x－，又a－＝4，∴a＝5.
答案 5
8．(2021·湖北荆门月考)设f(x)＝满足f(n)＝－，则f(n＋4)＝________.
解析 当n>6时，f(n)＝－log3(n＋1)＝－，
解得n＝3－1<3－1＝2<6，不合题意．
当n≤6时，f(n)＝3n－6－1＝－，
解得n＝4，则f(n＋4)＝f(4＋4)＝f(8)＝－log3(8＋1)＝－log39＝－2.
答案 －2
9．若f(x)＝φ(x)＝则当x<0时，f(φ(x))＝________.
解析 由于f(x)＝
φ(x)＝则当x<0时，φ(x)＝－x2.
由于x<0，所以－x2<0.所以f(φ(x))＝f(－x2)＝－x2.
答案 －x2
三、解答题
10．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；
(2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式．
解 (1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，
因此f(g(2))＝f(1)＝0，
g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，g(x)＝x－1，
故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，g(x)＝2－x，
故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
当x>1或x<－1时，f(x)>0，
故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；
故－1<x<1时，f(x)<0，
故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2.
所以g(f(x))＝
11．如图(1)是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．
(1)试说明图(1)上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图(2)、(3)所示．你能依据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图(1)、图(2)、图(3)中的票价分别是多少元？
解 (1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．
(2)图(2)的建议是降低成本，票价不变，图(3)的建议是提高票价．
(3)斜率表示票价．
(4)图(1)、(2)中的票价是2元．图(3)中的票价是4元．
1．设f(x)＝lg，则f＋f的定义域为( )
A．(－4,0)∪(0,4)
B．(－4，－1)∪(1,4)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－4，－2)∪(2,4)
解析 ∵>0，∴－2<x<2，∴－2<<2且－2<<2，取x＝1，则＝2不合题意(舍去)，故排解A，取x＝2，满足题意，排解C、D，故选B.
答案 B
2．(2022·西城模拟)设函数f(x)＝若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，则方程f(x)＝x的解集为________．
解析 当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，
由于f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
则解得
故f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，
解得x＝－2或x＝1(1>0，舍去)．
当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.
所以方程f(x)＝x的解集为{－2,2}．
答案 {－2,2}
3．给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k.
(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为________．
(2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为________．
解析 (1)本题定义函数有两个条件，一是定义域和值域都是正整数，二是对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k.那么n＝1时只要满足值域是正整数即可，所以答案是a(a为正整数)．
(2)由于k＝4，所以n>4时都一一对应，只要对n≤4的进行定义，又由于f(n)＝2或f(n)＝3，所以f(1)＝2或3，f(2)＝2或3，f(3)＝2或3，f(4)＝2或3，所以f的个数为：2×2×2×2＝16.
答案 (1)a(a为正整数) (2)16
4．假如对任意实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，
(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值．
(2)求＋＋＋…＋＋＋＋的值．
解 (1)由于对任意实数x，y，
都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，
所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝23＝8，
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝24＝16.
(2)由(1)知＝2，＝2，＝2，…，＝2.
故原式＝2×1 008＝2 016.
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