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课时提升作业(五)
空间图形的公理(公理4、定理)
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
【解析】选B.假设a与b是异面直线，而c∥a，则c明显与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，冲突)，因此c与b可能相交或异面.
2.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
【解析】选A.由于E，F分别是SN和SP的中点，
所以EF∥PN.同理可证HG∥PN.
所以EF∥HG.
3.(2022·焦作高一检测)有下面说法：
①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；
③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
其中正确的个数是( )
A.0 B.3 C.2 D.1
【解析】选D.①③中a，c异面、平行、相交都可能，只有②正确.
【拓展延长】学好立体几何的好帮手——长方体模型
长方体是立体几何中常见的模型之一，很多点、线和面的关系的例子可以从中查找，我们的教室就可以抽象成一个长方体，墙角是长方体的顶点，墙面是长方体的面，墙的边就是长方体的棱，学会从长方体中查找位置关系是学习立体几何必备的数学素养.
4.(2022·阜阳高一检测)如图，空间四边形ABCD中，AE=2BE，BF=12CF，CG=2GD，DH=12AH，则四边形EFGH为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
【解析】选A.由题意BEAE=12，BFFC=12，
所以BEAE=BFFC=12，
所以EF13AC，同理HG13AC，
所以EFHG.
所以四边形EFGH为平行四边形.
5.如图，平面α与平面β交于EF，C∈EF，C′∈EF，ACα，A′C′α，BCβ，B′C′β，且AC∥A′C′，BC∥B′C′，∠BCA=120°，则∠B′C′A′=( )
A.0° B.60°
C.120° D.60°或120°
【解析】选C.结合图形，由AC∥A′C′，BC∥B′C′，依据定理，有
∠B′C′A′=∠BCA=120°.
6.(2022·济源高一检测)四周体S-ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
【解析】选C.取SB的中点G，则GE=GF=a2，在△SFC中，EF=22a，所以GE2+GF2=EF2，所以∠EFG=45°.故选C.
【拓展延长】构造异面直线所成的角的方法
(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(或其补角).
(2)当异面直线依附于某几何，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点.
(3)当两条异面直线相互垂直时，欲求它们所成的角，实际上是要通过证明来计算.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.假如两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对.
【解析】六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6=24(对).
答案：24
8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成的角为________.
【解析】如图，由于BC∥B1C1，
所以∠ACB为异面直线B1C1与AC所成的角(或其补角).
由于∠ABC=90°，AB=BC=1，
所以∠ACB=45°，
所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°.
答案：45°
【变式训练】已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，AA1=2，则异面直线BD与AB1所成角的余弦值为________.
【解析】如图，连结B1D1，AD1.
由于BD∥B1D1，
所以∠AB1D1为异面直线BD与AB1所成的角(或其补角).
在△AB1D1中AB1=AD1=5，
B1D1=2，
所以cos∠AB1D1=225=1010.
答案：1010
9.四周体P-ABC中，PA⊥BC，E，F分别为PC，AB上任一点，若EF与PA，BC所成的角分别为α，β，则α+β=________.
【解析】本题可利用特例法.如图，若E，F为中点时，取AC的中点M，连接EM，FM，所以EM∥PA，FM∥BC，所以∠FEM=α，∠EFM=β，由于PA⊥BC，所以EM⊥FM，所以α+β=90°.
答案：90°
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2022·南昌高一检测)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是棱CC′，BB′，DD′的中点，求证：∠BGC=∠FD′E.
【证明】连接BD，B′D′，在平行四边形BDD′B′中，G，F分别为DD′，
BB′的中点，易知GB∥D′F，在平行四边形CC′D′D中，由于G，E分别为
DD′，CC′的中点，易知GC∥D′E.又由于∠BGC和∠FD′E方向相同.所以∠BGC=∠FD′E.
11.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，E，F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小.
【解析】取CD1的中点G，连接EG，DG，
由于E是BD1的中点，
所以EG∥BC，EG=12BC.
由于F是AD的中点，且AD∥BC，AD=BC，
所以DF∥BC，DF=12BC，
所以EG∥DF，EG=DF，
所以四边形EFDG是平行四边形，
所以EF∥DG，
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又由于A1A=AB，
所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
且G为CD1的中点，
所以DG⊥CD1，
所以∠D1GD=90°，
所以异面直线CD1，EF所成的角为90°.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2022·重庆高一检测)在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角是60°，那么∠FEG为( )
A.60° B.30° C.120° D.60°或120°
【解析】选D.异面直线AD与BC所成的角可能等于∠FEG，也可能等于∠FEG的补角.
2. (2021·南充高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为边B1C1，C1C，A1A，AD的中点，则EF与GH( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.不能确定
【解析】选A.连接B1C与A1D，
由于E，F为中点，
所以EF∥B1C.
又由于G，H为中点，
所以GH∥A1D.
简洁得出A1D∥B1C，
所以EF∥GH.
【举一反三】若已知条件不变，求GE与FH的位置关系，则结论如何？
【解析】选A.由上面解析知EF12B1C，GH12A1D，
又简洁得出B1CA1D，所以EFGH，
所以四边形EFHG为平行四边形，
所以GE∥FH.
3.如图所示是正方体的平面开放图.在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是( )
A.①②③ B.②④
C.③④ D.②③④
【解题指南】将平面开放图还原为正方体后逐一验证.
【解析】选C.将图还原为正方体如图所示.
由图可知①BM与ED异面；②CN与BE平行；③CN与BM所成角为60°；④BN⊥DM.
4.(2022·广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论确定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
【解题指南】由于l2∥l3，所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线的位置关系加以推断.
【解析】选D.由于l2∥l3，所以l1⊥l3，l3⊥l4.实质上就是l1与l4同垂直于一条直线，所以l1⊥l4，l1∥l4，l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立，故l1与l4的位置关系不确定.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下结论：
①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为__________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).
【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故①②错误，③④正确.
答案：③④
6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与BC1所成的角的大小为________.
【解析】如图，连结B1C，设B1C∩BC1=D，取AC的中点E，
连结DE，BE，C1E，
由于四边形BCC1B1是平行四边形，
所以D是B1C的中点，
所以DE∥AB1，
所以∠BDE(或其补角)是AB1与BC1所成的角.
不妨设BB1=1，则AB=BC=AC=2，
在Rt△CC1E中，C1E=12+(22)2=32=62，
在Rt△BCE中，BE=BC·sin60°=2×32=62，
所以C1E=BE，又D是BC1的中点，
所以ED⊥BC1，所以∠BDE=90°，
所以AB1与BC1所成的角为90°.
答案：90°
三、解答题(每小题12分，共24分)
7. (2022·佛山高一检测)如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=
∠FAB=90°，BC∥AD，BC=12AD，BE∥FA，BE=12FA，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG为平行四边形.
(2)C，D，E，F四点是否共面？为什么？
【解题指南】(1)只需证BC∥GH，BC=GH.
(2)先证四边形BEFG为平行四边形，再证明EF∥CH即得.
【解析】(1)由已知FG=GA，FH=HD，可得GH∥AD，GH=12AD，又BC∥AD，BC=12AD，所以GH∥BC，GH=BC.所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)C，D，E，F四点共面，证明如下：
由BE12FA，G为FA中点知，BEFG，
所以四边形BEFG为平行四边形.
所以EFBG.由(1)知BGCH.
所以EFCH，即四边形EFHC为平行四边形.
所以CE与HF共面，又D∈直线FH.
故C，D，E，F四点共面.
【变式训练】如图所示，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且AOOA'=BOOB'=COOC'=23.
(1)求证：AB∥A′B′，
AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)求S△ABCS△A'B'C'的值.
【解析】(1)由于AA′与BB′交于点O，且AOOA'=BOOB'=23.所以AB∥A′B′.
同理，AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)由于A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，
所以∠BAC=∠B′A′C′.
同理∠ABC=∠A′B′C′.
因此△ABC∽△A′B′C′，
且ABA'B'=AOOA'=23.
所以S△ABCS△A'B'C'=232=49.
8.如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且AEED=BFFC=12，EF=5，求AB和CD所成的角的大小.
【解析】如图，过E作EO∥AB，交BD于点O，连接OF，
所以AEED=BOOD，所以BOOD=BFFC，
所以OF∥CD.
所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角.
在△EOF中，OE=23AB=2，OF=13CD=1，
又EF=5，所以EF2=OE2+OF2，
所以∠EOF=90°.
即异面直线AB和CD所成的角为90°.
【拓展延长】利用定义法求异面直线所成的角的四个步骤
(1)移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，成为相交直线，这里的点通常选择特殊的点，如线段的中点或端点等.
(2)证：证明所作的角为异面直线所成的角.
(3)算：查找或作出含有此角的三角形，解三角形，求出此角.
(4)验：由于异面直线所成的角θ的取值范围为0°<θ≤90°，所以当所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.
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