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第七节 对数与对数函数
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．函数y＝的定义域为( )
A．(0,8] B．(2,8]
C．(－2,8] D．[8，＋∞)
解析 由题意可知，1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤lg10，则解得－2<x≤8，故函数y＝的定义域为(－2,8]．
答案 C
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析 f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
答案 A
3．函数y＝ln的图象为( )
解析 易知2x－3≠0，即x≠，排解C，D.当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数，所以选A.
答案 A
4．(2022·天津卷)函数f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析 由x2－4>0得x>2或x<－2，
因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
令t＝x2－4，当x∈(－∞，－2)时，t随x的增大而减小，y＝logt随t的减小而增大，所以y＝log (x2－4)随x的增大而增大，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故选D.
答案 D
5．已知f(x)＝log2x－x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值( )
A．恒为负 B．等于0
C．恒为正 D．不小于零
解析 在同一坐标系中画出函数y＝log2x和y＝x的图象，由图象可知，x1>log2x1，
即f(x1)＝log2x1－ x1<0，故选A.
答案 A
6．(2021·河北石家庄调研)已知函数f(x)＝|logx|，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
解析 ∵f(x)＝|logx|，
若m<n，有f(m)＝f(n)，
∴logm＝－logn.∴mn＝1.
∴0<m<1，n>1.∴m＋3n＝m＋在m∈(0,1)上单调递减．当m＝1时，m＋3n＝4，
∴m＋3n>4.
答案 D
二、填空题
7．若f(x)＝，且f(lga)＝，则a＝________.
解析
答案 10或
8．函数y＝log (x2－6x＋17)的值域是________．
解析 令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝logt为减函数，所以有logt≤log8＝－3.
答案 (－∞，－3]
9．定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________．
解析 当x∈(－∞，0)时，则－x∈(0，＋∞)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)
所以f(x)＝
由f(x)<－1，
得或或
解得0<x<或x<－2.
答案
三、解答题
10．已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)争辩f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
解 (1)由4x－1>0解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
11．(2021·珠海模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log (－x)．
由于函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)由于f(4)＝log4＝－2，又f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又由于函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得：－<x<，
即不等式的解集为(－，)．
1．假如一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P1(1,1)，P2(1,2)，P3，P4(2,2)中，“好点”的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 设指数函数和对数函数分别为y＝ax(a>0，a≠1)，
y＝logbx(b>0，b≠1)．若为“好点”，
则P1(1,1)在y＝ax的图象上，
得a＝1与a>0，且a≠1冲突；
P2(1,2)明显不在y＝logbx的图象上；
P3在y＝ax，y＝logbx的图象上时，a＝，b＝；易得P4(2,2)也为“好点”．
答案 B
2．(2021·黑龙江哈师大期末)设函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0,1]，若n－m的最小值为，则实数a的值为( )
A. B.或
C. D.或
解析 如图所示，n－m的最小值是1－a，或－1，当1－a＝时，a＝；当＝－1时，a＝，综上可知，a＝或，故选D.
答案 D
3．设定义在区间[－m，m]上的函数f(x)＝log2是奇函数，且f≠f，则nm的取值范围为________．
解析 ∵函数f(x)＝log2是奇函数，
∴f(－x)＝log2＝－f(x)
＝－log2＝log2，＝，
∴n2＝4，n＝±2.
又当n＝－2时，f(x)＝log2＝0，
这与f≠f冲突，
∴n＝2，f(x)＝log2，易知x∈，∴由区间[－m，m]得0<m<，又f，f有意义，故≤m<.
∴2≤nm<2，即≤nm<，
∴nm的取值范围为[，)．
答案 [，)
4．设函数f(x)＝log4(4x＋1)＋ax(a∈R)：
(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值；
(2)若不等式f(x)＋f(－x)≥mt＋m对任意x∈R，t∈[－2，1]恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由函数f(x)是定义在R上的偶函数，
则f(x)＝f(－x)恒成立，
即log4(4x＋1)＋ax＝log4(4－x＋1)－ax.
所以2ax＝log4＝log4＝－x.
所以(2a＋1)x＝0恒成立，则2a＋1＝0，
故a＝－.
(2)f(x)＋f(－x)
＝log4(4x＋1)＋ax＋log4(4－x＋1)－ax
＝log4(4x＋1)＋log4(4－x＋1)
＝log4(4x＋1)·(4－x＋1)
＝log4(2＋4x＋4－x)≥log4(2＋2)＝1.
所以mt＋m≤1对任意t∈[－2,1]恒成立，
令h(t)＝mt＋m，
由解得－1≤m≤，
故实数m的取值范围是.
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