2021高考数学总复习专题系列——推理与证明.板块一.合情推理与演绎推理.学生版.docx

板块一.合情推理与
演绎推理

典例分析

题型一：合情推理
【例1】 迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发觉由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并依据通项公式得出数列的后几项，发觉它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发觉它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 （ ）
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697

【例2】 下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量A的性质|A|2=A2类比得到复数z的性质|z|2=z2；
③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比错误的是 ( )
A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③

【例3】 定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( )

（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A. B. C. D.

【例4】 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC相互垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）
(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)
(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2

【例5】 已知 ，猜想的表达式为 ( )
A. B. C. D.

【例6】 观看下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( )
(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.

【例7】 观看下列数的特点
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( )
（A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100

【例8】 设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值为 （ ）
A、 B、2 C、3 D、4

【例9】 平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为 （ ）
A、 B、 C、 D、

【例10】 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）
A． 25 B．6 C．7 D．8

【例11】 如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ）
A. B. C. D.
O
x
A
B
F
y

【例12】 观看式子：，…，则可归纳出式子为（ ）
A、 B、
C、 D、

【例13】 公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。

【例14】 考察下列一组不等式：
.将上述不等式在左右两端仍为两项和的状况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.

【例15】 如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则 ； ＝ .

【例16】 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有确定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 。

【例17】 数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列.类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列{}也为等比数列.

【例18】 在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 其次件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,依据这种规律增加确定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用表示)
图1
图2
图3
图4

【例19】 在平面上，我们假如用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，假如用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .

【例20】 对于平面几何中的命题“假如两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。

【例21】 依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为 。

【例22】 在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.

【例23】 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．
第1行　　　　　 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………

【例24】 在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四周体的内切球半径等于这个正四周体的高的 。

【例25】 已知：； 通过观看上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： ________________= （ * ）并给出（ * ）式的证明。

【例26】 观看以下各等式：

，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

【例27】 在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=A，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。

【例28】 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。

【例29】 二十世纪六十年月，日本数学家角谷发觉了一个惊异现象：一个自然数，假如它是偶数就用2除它，假如是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必定会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。

【例30】 圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？设AB是椭圆的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为KOM、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？并证明你的结论。

【例31】 已知椭圆C：具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。

【例32】 观看下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：
（Ⅰ）求第六行的第一个数．
（Ⅱ）求第20行的第一个数．
（Ⅲ）求第20行的全部数的和．

【例33】 （2004年上海春招高考题）在DEF中有余弦定理：
. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.

【例34】 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行争辩，你能得到什么样的结论？

【例35】 已知椭圆具有性质：若是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明

【例36】 已知数列(为正整数)的首项为，公比为的等比数列．
⑴求和：；．
⑵由①的结果，概括出关于正整数的一个结论，并加以证明．

题型二：演绎推理
【例37】 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，依据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 （ ）
(A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等
(C) 正方形是平行四边形 (D)其它

【例38】 下列表述正确的是（ ）。
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
（A）①②③； （B）②③④； （C）②④⑤； （D）①③⑤。

【例39】 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论明显是错误的，是由于（ ）。
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

【例40】 （4） 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内全部直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论明显是错误的，这是由于 （ ）。
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

【例41】 小王、小刘、小张参与了今年的高考，考完后在一起谈论。
小王说：“我确定考上重点高校。”
小刘说：“重点高校我是考不上了。”
小张说：“要是不论重点不重点，我考上确定没问题。”
发榜结果表明，三人中考取重点高校、一般高校和没考上高校的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：（ ）
（A）小王没考上，小刘考上一般高校，小张考上重点高校
（B）小王考上一般高校，小刘没考上，小张考上重点高校
（C）小王没考上，小刘考上重点高校，小张考上一般高校
（D）小王考上一般高校，小刘考上重点高校，小张没考上

【例42】 已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m ∥β，给出下列四个命题：
（1）若α∥β，则l⊥m； （2）若l⊥m，则α∥β；
（3）若α⊥β，则l∥m； （4）若l∥m，则α⊥β；
其中正确命题的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【例43】 给出下列三个命题：①若；②若正整数满足，则；③设上任意一点，圆以为圆心且半径为1。当时，圆相切。
其中假命题的个数是（ ）
（A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3

【例44】 给定集合A、B，定义，若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合中的全部元素之和为 （ ）
A.15 B.14 C.27 D.-14

【例45】 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内全部直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论明显是错误的，这是由于 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

【例46】 为确保信息平安,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规章为:明文对应密文,例如,明文对应密文.当接收方收到密文时,则解密得到的明文为（ ）
A． B． C． D．

【例47】 下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）
A、两条直线平行，同旁内角互补，假如∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°
B、由平面三角形的性质，推想空间四周体性质
C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推想各班都超过50人
D、在数列中，，由此推出的通项公式

【例48】 设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .

【例49】 函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .

【例50】 在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出的性质；从对数函数中可抽象出的性质。那么从函数 (写出一个具体函数即可)可抽象出的性质。

【例51】 “AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD相互垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。

【例52】 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，依据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。

【例53】 已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式．

【例54】 （1）在演绎推理中，只要 是正确的，结论必定是正确的。
（2）用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是 。

【例55】 如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。

【例56】 已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，推断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.
直线BD和平面ABD的位置关系是平行

【例57】 设二次函数f(x)=Ax2+bx+c (A,b,c∈R,A≠0)满足条件：
①当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；②当x∈(0,2)时，f(x)≤
③f(x)在R上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈，就有f(x+t)≤x.

【例58】 规定：，其中，是正整数，且，这是组合数是正整数，且的一种推广．
①求的值；
②组合数的两共性质()是否都能推广到(是正整数)的情形？说明理由；
③已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，．

【例59】 指出下面推理中的大前提和小前提。
（1）5与2可以比较大小； （2）直线。

【例60】 已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，求的值。

【例61】 已知α、β是锐角，，且满足。
（1）求证：；
（2）求证：，并求等号成立时的值。