2021高考数学总复习专题系列——推理与证明.板块一.合情推理与演绎推理.学生版.docx

板块一.合情推理与
演绎推理

典例分析

题型一：合情推理
【例1】 迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发觉由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并依据通项公式得出数列的后几项，发觉它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发觉它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 （ ）
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697

【例2】 下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量A的性质|A|2=A2类比得到复数z的性质|z|2=z2；
③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比错误的是 ( )
A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③

【例3】 定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( )

（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A. B. C. D.

【例4】 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC相互垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）
(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)
(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2

【例5】 已知 ，猜想的表达式为 ( )
A. B. C. D.

【例6】 观看下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( )
(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.

【例7】 观看下列数的特点
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( )
（A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100

【例8】 设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值为 （ ）
A、 B、2 C、3 D、4

【例9】 平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为 （ ）
A、 B、 C、 D、

【例10】 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）
A． 25 B．6 C．7 D．8

【例11】 如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ）
A. B. C. D.
O
x
A
B
F
y

【例12】 观看式子：，…，则可归纳出式子为（ ）
A、 B、
C、 D、

【例13】 公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。

【例14】 考察下列一组不等式：
.将上述不等式在左右两端仍为两项和的状况下加以推广使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.

【例15】 如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则 ； ＝ .

【例16】 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有确定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 。

【例17】 数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列.类比上述结论，写出正项等比数列，若= 则数列{}也为等比数列.

【例18】 在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 其次件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,依据这种规律增加确定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用表示)
图1
图2
图3
图4

【例19】 在平面上，我们假如用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，假如用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .

【例20】 对于平面几何中的命题“假如两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。

【例21】 依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为 。

【例22】 在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.

【例23】 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．
第1行　　　　　 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………

【例24】 在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四周体的内切球半径等于这个正四周体的高的 。

【例25】 已知：； 通过观看上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： ________________= （ * ）并给出（ * ）式的证明。

【例26】 观看以下各等式：

，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

【例27】 在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=A，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。

【例28】 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。

【例29】 二十世纪六十年月，日本数学家角谷发觉了一个惊异现象：一个自然数，假如它是偶数就用2除它，假如是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必定会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。

【例30】 圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？设AB是椭圆的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为KOM、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？并证明你的结论。

【例31】 已知椭圆C：具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。

【例32】 观看下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：
（Ⅰ）求第六行的第一个数．
（Ⅱ）求第20行的第一个数．
（Ⅲ）求第20行的全部数的和．

【例33】 （2004年上海春招高考题）在DEF中有余弦定理：
. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.

【例34】 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行争辩，你能得到什么样的结论？

【例35】 已知椭圆具有性质：若是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明

【例36】 已知数列(为正整数)的首项为，公比为的等比数列．
⑴求和：；．
⑵由①的结果，概括出关于正整数的一个结论，并加以证明．

题型二：演绎推理
【例37】 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，依据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 （ ）
(A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等
(C) 正方形是平行四边形 (D)其它

【例38】 下列表述正确的是（ ）。
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
（A）①②③； （B）②③④； （C）②④⑤； （D）①③⑤。

【例39】 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论明显是错误的，是由于（ ）。
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

【例40 （4） 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内全部直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论明显是错误的，这是由于 （ ）。
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

【例41】 小王、小刘、小张参与了今年的高考，考完后在一起谈论。
小王说：“我确定考上重点高校。”
小刘说：“重点高校我是考不上了。”
小张说：“要是不论重点不重点，我考上确定没问题。”
发榜结果表明，三人中考取重点高校、一般高校和没考上高校的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：（ ）
（A）小王没考上，小刘考上一般高校，小张考上重点高校
（B）小王考上一般高校，小刘没考上，小张考上重点高校
（C）小王没考上，小刘考上重点高校，小张考上一般高校
（D）小王考上一般高校，小刘考上重点高校，小张没考上

【例42】 已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m ∥β，给出下列四个命题：
（1）若α∥β，则l⊥m； （2）若l⊥m，则α∥β；
（3）若α⊥β，则l∥m； （4）若l∥m，则α⊥β；
其中正确命题的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【例43】 给出下列三个命题：①若；②若正整数满足，则③设上任意一点，圆以为圆心且半径为1。当时，圆相切。
其中假命题的个数是（ ）
（A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3

【例44】 给定集合A、B，定义，若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合中的全部元素之和为 （ ）
A.15 B.14 C.27 D.-14

【例45】 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内全部直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论明显是错误的，这是由于 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

【例46】 为确保信息平安,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规章为:明文对应密文,例如,明文对应密文.当接收方收到密文时,则解密得到的明文为（ ）
A． B． C． D．

【例47】 下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）
A、两条直线平行，同旁内角互补，假如∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°
B、由平面三角形的性质，推想空间四周体性质
C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推想各班都超过50人
D、在数列中，，由此推出的通项公式

【例48】 设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .

【例49】 函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .

【例50】 在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出的性质；从对数函数中可抽象出的性质。那么从函数 (写出一个具体函数即可)可抽象出的性质。

【例51】 “AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD相互垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。

【例52】 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，依据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。

【例53】 已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式．

【例54】 （1）在演绎推理中，只要 是正确的，结论必定是正确的。
（2）用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是 。

【例55】 如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。

【例56】 已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，推断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.
直线BD和平面ABD的位置关系是平行

【例57】 设二次函数f(x)=Ax2+bx+c (A,b,c∈R,A≠0)满足条件：
①当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；②当x∈(0,2)时，f(x)≤
③f(x)在R上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈，就有f(x+t)≤x.

【例58】 规定：，其中，是正整数，且，这是组合数是正整数，且的一种推广．
①求的值；
②组合数的两共性质()是否都能推广到(是正整数)的情形？说明理由；
③已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，．

【例59】 指出下面推理中的大前提和小前提。
（1）5与2可以比较大小； （2）直线。

【例60】 已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，求的值。

【例61】 已知α、β是锐角，，且满足。
（1）求证：；
（2）求证：，并求等号成立时的值。