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第三节 函数的单调性与最值
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
A中，f(x)＝满足要求；
B中，f(x)＝(x－1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
C中，f(x)＝ex是增函数；
D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数．
答案 A
2．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝x2－4x＋4
C．f(x)＝2x
D．f(x)＝logx
解析 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0等价于x1－x2与f(x1)－f(x2)正负号相同，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．明显只有函数f(x)＝2x符合，故选C.
答案 C
3．已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 若函数f(x)在R上递增，则需log21≥c＋1，即c≤－1.由于c＝－1⇒c≤－1，但c≤－1⇒/ c＝－1，所以“c＝－1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件．故选A.
答案 A
4．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数，
当a≠0时，由，得0<a≤，
综上a的取值范围是0≤a≤.
答案 D
5．已知f(x)为R上的减函数，则满足f>f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 依题意得<1，即>0，
所以x的取值范围是x>1或x<0.
答案 D
6．已知函数f(x)＝x2－cosx，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是( )
A．f(0)<f(0.6)<f(－0.5)
B．f(0)<f(－0.5)<f(0.6)
C．f(0.6)<f(－0.5)<f(0)
D．f(－0.5)<f(0)<f(0.6)
解析 由于函数f(x)＝x2－cosx是偶函数，且在(0，π)上是增函数，所以f(0)<f(0.5)＝f(－0.5)<f(0.6)，故选B.
答案 B
二、填空题
7．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是________．
解析 函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4
＝－2＋的减区间为，∵e>1，
∴函数f(x)的单调递减区间为.
答案
8．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．
解析 f(x)＝＝a－，
∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，
∴⇒⇒a≥1.
答案 [1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a＝________.
解析 由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在上单调递增，
所以即解得a＝.
答案
三、解答题
10．已知f(x)＝(x≠a)，
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
(1)证明 任取x1<x2<－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解 任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
∴a≤1.
综上所述知a的取值范围是(0,1]．
11．已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解 (1)由x＋－2>0，得>0，
a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，
定义域为(0，＋∞)，
a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，
0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－或x>1＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，
当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
g′(x)＝1－＝>0恒成立，
∴g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2，
而h(x)＝3x－x2＝－(x－)2＋在x∈[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
∴a>2.
1．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当k＝时，函数fk(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析 由f(x)>，得－1<x<1.
由f(x)≤，得x≤－1或x≥1.
所以f(x)＝
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
答案 C
2．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析 f(x)＝当x≥a时，f(x)单调递增，当x<a时，f(x)单调递减，又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以a≤1.
答案 (－∞，1]
3．已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1<x2≤3时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，则f(2 011)，f(2 012)，f(2 013)从大到小的挨次为________．
解析 由②知f(x)的周期为4.
由③知f(x)在[1,3]上为减函数，
∴f(2 011)＝f(3)，f(2 012)＝f(0)＝f(2)，
f(2 013)＝f(1)，
∴f(1)>f(2)>f(3)，
即f(2 013)>f(2 012)>f(2 011)．
答案 f(2 013)>f(2 012)>f(2 011)
4．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
解 (1)证法1：∵函数f(x)对于任意x，
y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，
即f(x1)<f(x2)．
因此f(x)在R上是减函数．
证法2：在R上任取x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．
∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，
即f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在R上为减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
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