资源描述
[基础达标]
1．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
解析：选C．∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36(个)虚数．
2．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
解析：选B．正方体共有3组对面互不相邻，与正方体的每组对面相邻的面有4个，所以有3×4＝12(种)选法．
3．高三班级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参与社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必需有班级要去，则不同的支配方案有( )
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
解析：选C．三个班去四个工厂不同的支配方案共43种，甲工厂没有班级去的支配方案共有33种，因此满足条件的不同的支配方案共有43－33＝37(种)．
4．在某校进行的羽毛球两人决赛中，接受5局3赢制的竞赛规章，先赢3局者获胜，直到决出胜败为止．若甲、乙两名同学参与竞赛，则全部可能毁灭的情形(个人输赢局次的不同视为不怜悯形)共有( )
A．6种 B．12种
C．18种 D．20种
解析：选D．分三种状况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C＝6(种)情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C＝12(种)情形．全部可能毁灭的情形共有2＋6＋12＝20(种)．
5. 将1，2，3，…，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下的数分别依次增大，当3，4固定在图中所示的位置时，填写空格的方法数为( )
A．6种 B．12种
C．18种 D．24种
解析：选A．
依据数的大小关系可知，1，2，9的位置是固定的，则剩余5，6，7，8四个数字，而8只能放在A，B两个位置，若8放在B处，则C处可以从5，6，7三个数字中选一个放在C处，剩余两个依据大小放在A，D处，此时共有3种；同理，若8放在A处，则可以从5，6，7三个数字中选一个放在D处，剩余两个依据大小放在B，C处，此时也有3种，所以共有6种填法．
6．由0，1，2，3，这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有________个．
解析：由0，1，2，3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3A＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．
答案：174
7．(2022·辽宁沈阳模拟)三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是________．
解析：另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必需x＋y≥12.当y取11时，x可取1，2，3，…，11，有11个三角形；当y取10时，x可取2，3，…，10，有9个三角形；…；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．
∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.
答案：36
8．(2022·内蒙古呼和浩特质检)奥运选手选拔赛上，8名男运动员参与100米决赛．其中甲、乙、丙三人必需在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则支配这8名运动员竞赛的方式共有________种．
解析：分两步支配这8名运动员．
第一步：支配甲、乙、丙三人，其有1、3、5、7四条跑道可支配，所以支配方式有4×3×2＝24(种)．
其次步：支配另外5个，可在2、4、6、8及余下的一条奇数号跑道上支配，所以支配方式有5×4×3×2×1＝120(种)．
∴支配这8名运动员竞赛的方式有24×120＝2 880(种)．
答案：2 880
9．(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
解：(1)该问题中要完成的事情是4名同学报名，因而可按同学分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81(种)报名方法．
(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64(种)．
10．由数字1，2，3，4，
(1)可组成多少个三位数？
(2)可组成多少个没有重复数字的三位数？
(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字？
解：(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，依据分步乘法计数原理共可组成43＝64(个)三位数．
(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步乘法计数原理共可排成没有重复数字的三位数4×3×2＝24(个)．
(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个．
[力气提升]
1．(2022·浙江杭州五校联考)假如一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
解析：选B．长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，共36＋12＝48(个)．
2．(2022·浙江省名校联考)假如正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2 013等均为“好数”)，将全部“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝( )
A．50 B．51
C．52 D．53
解析：选B．本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28(个)数；其次类可分为10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)数，故2 013为第51个数，故n＝51.
3. 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；
其次类，有两条公共边的三角形共有8个；
由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．
答案：40
4．将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i个数为ai(i＝1，2，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有__________种．(用数字作答)
解析：由题设知a5必为6.
第一类：当a1＝2时，a3可取4、5，∴共有2A＝12(种)；
其次类：当a1＝3时，a3可取4、5，∴共有2A＝12(种)；
第三类：当a1＝4时，a3必取5，∴有A＝6(种)．
∴共有12＋12＋6＝30(种)．
答案：30
5．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？
(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？
解：(1)a的取值有5种状况，b的取值有6种状况，c的取值有6种状况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．
(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种状况，b、c的取值均有6种状况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数．
6．(选做题) 编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必需放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？
解：依据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，有A＝6(种)不同的放法，则依据分步乘法计数原理，此时有A＝6(种)不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，有A＝6(种)不同的放法，则依据分步乘法计数原理，此时有A＝6(种)不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有A＝6(种)不同的放法，依据分步计数原理，此时有AA＝18(种)不同的放法．
综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．
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