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第9讲 函数与方程
1．函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
3.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[做一做]
1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，2 B．0，
C．0，－ D．2，－
解析：选C.∵2a＋b＝0，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
∴零点为0和－.
2．函数y＝f(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间为________．
答案：(2，3)
1．辨明三个易误点
(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，但不是必要条件．
(3)精确度不是近似值．
2．会用推断函数零点个数的三种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，假如能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必需结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
3．明确三个等价关系(三者相互转化)
[做一做]
3．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选B.∵f(－1)·f(0)＝－＜0，
∴函数f(x)的零点所在区间为(－1，0)．
,[同学用书P36～P37])
__函数零点所在区间的确定____________
(2022·高考北京卷)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
[解析] 由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．
[答案] C
[规律方法] 推断函数在某个区间上是否存在零点，要依据具体题目机敏处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行推断；当不能直接求出时，可依据零点存在性定理推断；当用零点存在性定理也无法推断时可画出图象推断．
1.(1)(2021·广东揭阳联考)下列说法，正确的是( )
A．对于函数f(x)＝，由于f(－1)·f(1)<0，所以函数f(x)在区间(－1，1)内必有零点
B．对于函数f(x)＝x2－x，由于f(－1)·f(2)>0，所以函数f(x)在区间(－1，2)内没有零点
C．对于函数f(x)＝x3－3x2＋3x－1，由于f(0)·f(2)<0，所以函数f(x)在区间(0，2)内必有零点
D．对于函数f(x)＝x3－3x2＋2x，由于f(－1)·f(3)<0，所以函数f(x)在区间(－1，3)内有唯一零点
(2)(2021·高考重庆卷)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：(1)选C.由函数f(x)＝的图象可知在区间(－1，1)内无零点，故A错；令f(x)＝x2－x＝0，可得x＝0或x＝1，故f(x)在区间(－1，2)内有两个零点，B错；函数f(x)＝x3－3x2＋3x－1的图象在区间(0，2)内连续，且f(0)·f(2)<0，所以在区间(0，2)内必有零点，C正确；由x3－3x2＋2x＝0，解得x＝0，x＝1或x＝2，即函数f(x)在区间(－1，3)内有三个零点，D错．故选C.
(2)选A.∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，
∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，
∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
__函数零点个数的问题(高频考点)_________
函数零点个数问题是高考命题的一个高频考点，常与函数的图象与性质交汇，以选择题、填空题的形式毁灭，高考对函数零点的考查主要有以下两个命题角度：
(1)推断函数零点个数；
(2)由函数零点个数确定参数的值或取值范围．
(1)(2022·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}
(2)已知0＜a＜1，k≠0，函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．
[解析] (1)令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1，3}．
(2) 函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k＞0和k＜0作出函数f(x)的图象．当0＜k＜1时，函数y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点；当k＝1时，有一个交点；当k＞1或k＜0时，没有交点，故当0＜k＜1时满足题意．
[答案] (1)D (2)0<k<1
[规律方法] 推断函数y＝f(x)零点个数的三种常用方法：(1)直接法．令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在性定理法．推断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．(3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题．(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)
[留意] 若已知f(x)有几个零点，则用数形结合法，转化为两个生疏的函数图象有几个交点问题，数形结合求解．
2.(1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2，0
C. D．0
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是( )
A．0 B．2
C．4 D．6
解析：(1)选D.当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又由于x＞1，所以此时方程无解．
综上函数f(x)的零点只有0.
(2)选C.画出周期函数f(x)和y＝log3|x|的图象，如图所示，方程f(x)＝log3|x|的解的个数为4.
__与二次函数有关的零点分布__________
已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．
(1)[解] (1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图(1)所示，得
⇒
故m的取值范围是.
(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0，1)内，如图(2)所示，列不等式组
(2)
⇒
即－<m≤1－.
故m的取值范围是.
本例方程不变，问m为何实数时？
(1)有一根大于2，另一根小于2?
(2)在区间(1，3)内有且只有一解？
解：(1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1为开口向上的二次函数，只需f(2)＝4＋4m＋2m＋1<0，
解得m<－，∴m的取值范围为(－∞，－)．
(2)f(x)为(1，3)内的连续函数，只需f(1)·f(3)<0或.
即：(4m＋2)·(8m＋10)<0或，
∴－<m<－，
∴m的取值范围为.
[规律方法] 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．
3.是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解：令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9＋>0，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，
∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.
方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
,[同学用书P37])
交汇创新——方程的根与函数极值点的交汇
(2021·高考安徽卷)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 由于f′(x)＝3x2＋2ax＋b，函数f(x)的两个极值点为x1，x2，所以f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，所以x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根．所以解关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0得f(x)＝x1或f(x)＝x2.不妨设x1<x2，由题意知函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．又f(x1)＝x1<x2，如图，数形结合可知f(x)＝x1有两个不同实根，f(x)＝x2有一个实根，所以不同实根的个数为3.
[答案] A
[名师点评] (1)解答本题的关键是把f(x)看作为3z2＋2az＋b＝0的根，从而转化为求解f(x)＝x1与f(x)＝x2的根的个数问题．
(2)本题把方程的根与函数的极值点交汇在一起考查，体现了新课标命题的指导思想．
(2021·广州测试)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是( )
A．f(a)<f(1)<f(b) B．f(a)<f(b)<f(1)
C．f(1)<f(a)<f(b) D．f(b)<f(1)<f(a)
解析：选A.由题意，知f′(x)＝ex＋1>0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，所以函数f(x)的零点a∈(0，1)；
由题意，知g′(x)＝＋1>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g(x)的零点b∈(1，2)．
综上，可得0<a<1<b<2.由于f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)<f(1)<f(b)．故选A.
1．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
解析：选C.由f(x)在[－1，1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1，1]上有唯一实数根．
2．函数f(x)＝－|x－5|＋2x－1的零点所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C.依题意得f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，故f(x)的零点所在区间是(2，3)，故选C.
3．函数f(x)＝(x2－2 014x－2 015)ln(x－2 015)的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选B.由x－2 015>0，解得x>2 015，
故函数f(x)的定义域为(2 015，＋∞)．
由f(x)＝0，即(x2－2 014x－2 015)ln(x－2 015)＝0，得x2－2 014x－2 015＝0或ln(x－2 015)＝0，
由x2－2 014x－2 015＝0，即(x＋1)(x－2 015)＝0，解得x＝－1或x＝2 015，明显都不在函数f(x)的定义域内，故不合题意；
解ln(x－2 015)＝0，即x－2 015＝1，解得x＝2 016.
所以函数f(x)只有一个零点．故选B.
4．(2021·广东六校联考(一))在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.设f(x)＝x3－2x－1，由于一根在区间(1，2)内，依据二分法的规章，取区间中点，由于f(1)＝－2<0，f＝－4<0，f(2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是，故选择D.
5．若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝( )
A.或－ B．－
C. D．以上都不对
解析：选C.函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3是偶函数，所以要使其零点只有一个，这个零点只能是0.由f(0)＝0得a＝±.当a＝时，f(x)＝x2＋|x|，它只有一个零点0，符合题意；当a＝－时，f(x)＝x2－|x|，它有3个零点0，－，，不符合题意，综上，a＝.
6．函数f(x)＝的零点个数是________．
解析：函数的定义域是(3，＋∞)，且由f(x)＝0得x＝2或x＝1，但1∉(3，＋∞)，2∉(3，＋∞)，故f(x)没有零点．
答案：0
7．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内是单调函数，f(－1)f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a<－1或a>.即a的取值范围是(－∞，－1)∪.
答案：(－∞，－1)∪
8．函数y＝－m有两个零点，则m的取值范围是________．
解析：在同始终角坐标系内，画出y1＝和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m<1.
答案：(0，1)
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g＜0.
又函数g(x)在上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
10．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.假如函数y＝f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．
解：f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－.
①当－≤－1，即0<a≤时，须使即
∴a的解集为∅.
②当－1<－<0，即a>时，
须使
即
解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．
1．(2021·湖北武汉模拟)若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )
A．5次 B．6次
C．7次 D．8次
解析：选C.设对区间(1，2)二等分n次，开头时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，…，第n次二等分后区间长为.依题意得＜0.01，∴n＞log2100.由于6＜log2100＜7，
∴n≥7，即n＝7为所求．
2．(2021·皖西七校联考)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，－1)
解析：选B.方程f(x)＝k化为方程e|x|＝k－|x|，令y＝e|x|，y＝k－|x|，如图，y＝k－|x|表示斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y＝e|x|恰好有一个公共点时，有k＝1，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选B.
3．(2021·南宁模拟)已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________．
解析：∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，
f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，
且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，
∴x0∈[2，3]，即a＝2，b＝3.
∴a＋b＝5.
答案：5
4．(2021·北京西城期末)设函数f(x)＝则f[f(－1)]＝________；若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________．
解析：f[f(－1)]＝f＝log2＝－2；
令g(x)＝0，得f(x)＝k，等价于y＝f(x)的图象和直线y＝k有两个不同的交点，在平面直角坐标系中画出y＝f(x)的图象，如图所示，要使得两个函数图象有2个不同交点，需0<k≤1.则实数k的取值范围是(0，1]．
答案：－2 (0，1]
5．设函数f(x)＝(x＞0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)如图所示．
(2)∵f(x)＝＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，
由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且－1＝
1－，∴＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
6．(选做题)(1)已知f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.m为何值时，有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)法一：设f(x)的两个零点分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.
由题意，知
⇔⇔
∴－5<m<－1.
故m的取值范围为(－5，－1)．
法二：由题意，知
即
∴－5<m<－1.
∴m的取值范围为(－5，－1)．
(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，
即|4x－x2|＝－a.
令g(x)＝|4x－x2|，
h(x)＝－a.
作出g(x)、h(x)的图象．
由图象可知，当0<－a<4，
即－4<a<0时，
g(x)与h(x)的图象有4个交点，
即f(x)有4个零点．
故实数a的取值范围为(－4，0)．
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