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第2节 功
人教版教参补充题目
1.（多选）如图7-2-32所示，质量为m的物块,始终固定在倾角为θ的斜面上,下列说法中正确的是（ ）
图7-2-32
A.若斜面对左匀速移动距离x,斜面对物块的作用力没有做功
B.若斜面对上匀速移动距离x,斜面对物块的作用力做功mgx
C.若斜面对左以加速度a移动距离x,斜面对物块的作用力做功max
D.若斜面对下以加速度a移动距离x，斜面对物块的作用力做功m(g+a)x
解析：由于物块匀速移动，所以斜面对物块的作用力与物块的重力平衡，也就是说，斜面对物块的摩擦力与支持力的合力与物块的重力平衡，方向竖直向上，与位移方向垂直，故斜面对物块的作用力做功W=0，选项A正确；斜面对物块的作用力与物块的重力平衡，方向竖直向上，当斜面对上移动距离x时，斜面对物块的作用力做功W=Gx=mgx，选项B正确；物块的加速度向左，依据牛顿其次定律，物块所受合力水平向左，大小为F=ma，合力的功=Fxcos 0°=max，而重力的功=0，斜面对物块的作用力做功=max，选项C正确；依据牛顿其次定律得mg-F=ma，所以斜面对物块的作用力F=m(g-a)，方向竖直向上，当斜面对下移动距离x时，斜面对物块的作用力做功W=-FL=-m(g-a)x，选项D错误。
答案：ABC
2.（单选）一滑块在水平地面上沿直线滑行，t=0时其速度为1 m/s。从今刻开头在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图7-2-33甲、乙所示。设在第1 s内、第2 s内、第3 s内,力F对滑块做功的大小分别为、、，则以下关系式正确的是（ ）
甲 乙
图7-2-33
＜
＜＜ ＜＜
解析：由v-t图像可知第1 s内、第2 s内、第3 s内的力和位移均为正方向，=t= m，=t= m，=1 m，=1 N，=3 N，=2 N，则= J，= J，=2 J,所以＜＜。故选项D正确。
答案：D
3.如图7-2-34所示，用恒力F通过定滑轮把静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，不计滑轮和物体的大小，滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为和，则拉力F在这一过程中对物体所做的功为 。
图7-2-34
解析：设物体在位置A时，滑轮左侧绳长为，当物体被绳拉至位置B时，绳长变为，因此物体由A到B，绳长的变化量Δ，而=，=，所以Δl=-，拉力F在这一过程中对物体所做的功为W=FΔl=F =Fh 。
答案：Fh
4.（单选）如图7-2-35所示，用与水平方向成θ的力F，拉质量为m的物体水平匀速前进x，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ，则在此过程中F做的功为（ ）
图7-2-35
A.mgx B.μmgx
C. D.
解析：对物体进行受力分析，并对拉力F进行分解如图7-2-36所示。
图7-2-36
依据物体在竖直方向的平衡条件可知：
=mg
又=Fsin θ
得=mg-Fsin θ
再依据滑动摩擦力公式
解得=μ（mg-Fsin θ）
又由于物体做匀速运动，所以=Fcos
所以，由Fcos θ=μ（mg-Fsin θ）
解得F=
依据功的公式，拉力F对物体所做的功为：=Fxcos θ,则有=xcos θ=，故选项D正确。
答案：D
5.（单选）A、B两物体的质量之比∶=2∶1，它们以相同的初速度在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其速度图像如图7-2-37所示。那么，A、B两物体所受摩擦阻力之比∶与A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比∶分别为（ ）
图7-2-37
A.4∶1,2∶1 B.2∶1,4∶1
C.1∶4,1∶2 D.1∶2,1∶4
解析:由v-t图像可知：∶=2∶1，而F=ma，∶=2∶1，可得：∶=4∶1；又由图像中面积关系可知A、B位移之比∶=1∶2，依据W=Fx，可得：∶=2∶1，故选项A正确。
答案：A
其他版本的题目
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1.如图7-2-38所示，雪橇在与水平方向成α角的拉力F的作用下，在水平雪面上沿直线匀速前进了s的距离。
图7-2-38
(1)试求作用在雪橇上的各个力所做的功。
（2）外力对雪橇做的总功是多少？
解析：(1)首先对雪橇受力分析，雪橇受重力、支持力、拉力、摩擦力，由于重力和支持力垂直于位移方向，所以重力和支持力做功为0，即=0，=0，拉力做功=Fscos α。由于雪橇匀速前进，所以摩擦力等于拉力的水平分力，因此摩擦力做功=-Fscos α。
(2)外力对雪橇做的总功=0。
答案：(1)重力、支持力、拉力、摩擦力做的功分别为0、0、Fscos α、-Fscos α (2)0
2.起重机的吊钩下挂着质量为100 kg的木箱，假如木箱以加速度2 匀减速下降了4 m，求钢索拉力所做的功。（g取10 ）
解析：对于木箱，依据牛顿其次定律得，mg-F=ma，所以拉力F=mg-ma=800 N，方向竖直向上，依据功的公式W=Flcos α得，拉力的功W=Flcos 180°=800×4×（-1） J=-3 200 J。
答案：-3 200 J
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1.雪橇和雪橇上的小孩总质量是60 kg,沿倾斜角为10°的雪坡下滑时所受阻力是重力的，雪橇在10 s内滑下了50 m。求下滑时重力和阻力所做的功各是多少。（sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98）
解析：依据题意，设阻力为f，则f=kG,其中k=，g取9.8 时，G=mg=60×9.8 N=588 N，f=23.52 N，依据功的公式W=Flcos α有，重力做功=Glsin 10°=588×50×0.17 J=4 998 J,阻力做功=flcos 180°=-23.52×50 J=-1 176 J。
答案：4 998 J -1 176 J
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甲、乙两人在河的两岸同时用绳拉船，使船在河的中间沿直线路径行驶，甲、乙的拉力分别为和,其大小和方向如图7-2-39所示。在船行驶80 m的过程中，用两种方法求合力对船所做的功：
图7-2-39
（1）先求出合力，再求合力所做的功；
（2）先求出两个分力所做的功，再求两个功的代数和。
比较两种方法计算的结果，你能得出什么结论？
解析：（1）使船在河的中间沿直线路径行驶，故合力方向沿河的中间直线，依据正交分解法，船受到的合力 60° 30°=(100×＋100×) N=200 N，依据功的公式，合力的功=200×80 J=16 000 J。
（2）依据功的公式W=Flcos α得，力做的功 60°=100×80× J=4 000 J，力做的功 30°=100×80× J=12 000 J，两个功的代数和＋=16 000 J。
计算结果说明，求合力的功时可以先求出合力，进而求合力的功；也可以先求出各力的功，进而求各力功的代数和。
答案：（1）16 000 J （2）16 000 J 计算结果说明，求合力的功可先求出各力的功，再求各力功的代数和。
补充材料
1.关于作用力与反作用力的功
作用力和反作用力大小相等、方向相反，但作用力和反作用力的功的确定值不愿定相等。这是由于作用力和反作用力作用在两个物体上，这两个物体在相同时间内运动的状况是由这两个物体所受的合力、物体的质量以及物体的初始条件这三个因素共同打算的。所以两个物体在相互作用力方向上的位移也没有必定联系，因此作用力和反作用力所做功的数值也没有确定的联系。上述状况可用下面的实例来分析。
图7-2-40
如图7-2-40所示，光滑水平面上有两辆小车甲和乙，小车上各固定一条形磁铁，两车分别靠着固定挡板放置。假如此时两车都处于静止状态，虽然两车之间存在着相互作用，但这对作用力和反作用力不做功，由于力的作用点无位移；假如将甲车左侧的挡板撤去，并给车以确定的水平初速度使其向右运动，在甲车靠近乙车的过程中，甲对乙的作用力不做功，而乙对甲的作用力做负功；当甲车返回向左运动时，甲对乙的作用力照旧不做功，而乙对甲的作用力做正功；假如将乙车右侧的挡板也撤去，则在甲车靠近乙车的过程中，甲对乙的作用力做正功，而乙对甲的作用力仍做负功；当甲车返回向左运动时，两个力均做正功；若将两车相向运动，则在其相向运动的过程中，两个力均做负功。
综上所述，一对作用力和反作用力，可能两个力均不做功；可能一个力做功，另一个力不做功；也可能一个力做正功，另一个力做负功；还可能两个力均做正功或均做负功。
例1 质量为M的长木板放在光滑的水平面上,一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点,在木板上前进了L,而木板前进l。若滑块与木板间的动摩擦因数为μ,问:(1)摩擦力对滑块所做功多大?(2)摩擦力对木板所做功多大？
解析：滑块在长木板上滑动的过程中，滑块和长木板受到的摩擦力大小皆为F=μmg，所以摩擦力对滑块所做功=F（L+l）cos 180°=-μmg（L+l），摩擦力对木板所做功=Fl=μmgl，由此可知摩擦力对滑块所做的功不等于摩擦力对木板所做的功（即滑块和长木板间的这一对作用力和反作用力做的功不相等）。
答案：（1）-μmg(L+l) (2)μmgl
2.求变力功的几种方法
（1）微元法：当物体在变力作用下做曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化时，可用微元法将曲线分成无限个小段，每一个小段可认为是恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和，如例2。
（2）平均力法：假如参与做功的是变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力，代入公式W=lcos α求解，如例3方法1。
（3）图像法：假如参与做功的变力方向与位移方向始终全都，而大小随位移变化，我们可作出该力随位移变化的图像。那么图线与位移轴所围成的面积，即为变力做的功，如例3的方法二。
（4）利用动能定理（后面介绍）或转换法，如图7-2-41中求人通过定滑轮缓慢拉动质量为m的重物,使重物上升h时，人做功可转换为重物重力势能的增加量mgh。
图7-2-41
例2（单选）如图7-2-42所示，某力F=10 N作用于半径R=1 m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向全都，则转动一周的过程中，力F做的总功应为（ ）
图7-2-42
A.0 J B.20π J C.10 J D.20 J
解析：把圆周分成无限个小段，每个小段可认为与力在同始终线上，故ΔW=FΔs，则转一周中各个小段做功的代数和为W=F×2πR=10×2π J=20π J，故选项B正确。
答案：B
例3 如图7-2-43所示用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。铁锤击打第一次后，能把铁钉击入木块内1 cm。则击打其次次后，能击入多少深度？(设铁锤每次做功相等)
图7-2-43
解析：（方法一 平均力法）：铁锤每次击打都用来克服铁钉的阻力做功，但阻力不是恒力，其大小与深度成正比，比例系数为k。
第一次击入深度为，平均阻力=，做功为=。
其次次击入深度为从到，平均阻力=)，位移为），做功为）=)。
图7-2-44
两次做功相等即。联立以上各式解得==1.41 cm，所以Δ=0.41 cm。
（方法二 图像法）：由于阻力F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图像（图7-2-44）。曲线上面积的数值等于力F对铁钉做的功。
由于两次做功相等，故有（面积），即=），解得==1.41 cm，所以Δ=0.41 cm。
答案：0.41 cm
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