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第四节 函数的奇偶性与周期性
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．(2021·深圳调研)下列函数中，为奇函数的是( )
A．y＝2x＋ B．y＝x，x∈{0,1}
C．y＝x·sinx D．y＝
解析 A中函数是偶函数；B中函数是非奇非偶函数；C中函数是偶函数；D中函数是奇函数．
答案 D
2．函数f(x)＝lnx2( )
A．是偶函数且在(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增
C．是奇函数且在(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数且在(－∞，0)上单调递减
解析 函数f(x)的定义域为x≠0，当x>0时，f(x)＝lnx2＝2lnx，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(－x)＝ln(－x)2＝lnx2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
答案 B
3．若函数f(x)＝是奇函数，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析 由f(－1)＝－f(1)，得＝，
∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0.
答案 A
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )
A．－2 B．2
C．－98 D．98
解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数．
∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)．
又∵f(x)在R上是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－1)＝－f(1)．而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2.∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
答案 A
5．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于( )
A．13 B．2
C. D.
解析 ∵f(x)·f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝，
则f(x)＝，故f(x)·f(x＋2)＝·＝13，
即f(x)f(x－2)＝13，∴f(x＋2)＝f(x－2)，
故函数f(x)的周期为4，
∴f(99)＝f(3)＝＝.
答案 D
6．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是( )
A．{x|－3<x<0，或x>3}
B．{x|x<－3，或0<x<3}
C．{x|x<－3，或x>3}
D．{x|－3<x<0，或0<x<3}
解析 由x·f(x)<0，得或
而f(－3)＝0，f(3)＝0，
即或
所以x·f(x)<0的解集是{x|－3<x<0，或0<x<3}．
答案 D
二、填空题
7．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析 ∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
答案 －－1
8．已知函数y＝f(x)＋x3为偶函数，且f(10)＝10，若函数g(x)＝f(x)＋4，则g(－10)＝________.
解析 设h(x)＝f(x)＋x3，由题意可得h(x)为偶函数，所以h(－10)＝h(10)，即f(－10)＋(－10)3＝f(10)＋103，
故f(－10)＝f(10)＋2×103＝2 010，
所以g(－10)＝f(－10)＋4＝2 014.
答案 2 014
9．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，都有ff(x)＝2 014，且当x∈时，f(x)＝log2(2x＋1)，则f(－2 015)＋f(2 013)＝________.
解析 由于函数f(x)为奇函数且f(0)有定义，故f(0)＝0，且f(－2 015)＝－f(2 015)．
当x≥0时，由ff(x)＝2 014，可得f＝，故f(x＋3)＝＝f(x)．
可得f(2 015)＝f(3×671＋2)＝f(2)，
f(2 013)＝f(3×671)＝f(0)．
由已知f(0)＝0，而f(2)＝f＝，
又f＝log2＝log22＝1，
所以f(2)＝＝2 014，即f(2 015)＝2 014，
故f(－2 015)＝－2 014.
综上，f(－2 015)＋f(2 013)
＝－2 014＋0＝－2 014.
答案 －2 014
三、解答题
10．推断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－.
(2)f(x)＝＋.
(3)f(x)＝
解 (1)原函数的定义域为{x|x≠0}，
并且对于定义域内的任意一个x都有
f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，
从而函数f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
11．(2021·曲阜师大附中质检)定义域为[－1,1]的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x－2)，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x＋.
(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；
(2)求函数f(x)的值域．
解 (1)当x＝0时，f(0)＝－f(0)，故f(0)＝0.
当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，
f(x)＝－f(－x)＝－(－2x＋)＝2x－.
若x＝－1时，f(－1)＝－f(1)．
又f(1)＝f(1－2)＝f(－1)，故f(1)＝－f(1)，得f(1)＝0，从而f(－1)＝－f(1)＝0.
综上，f(x)＝
(2)∵x∈(0,1)时，f(x)＝2x＋，
∴f′(x)＝2＋＞0，故f(x)在(0,1)上单调递增．
∴f(x)∈(0,3)．
∵f(x)是定义域为[－1,1]上的奇函数，且f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－3,3)．
∴f(x)的值域为(－3,3)．
1．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析 由f(t)＝f(1－t)，
得f(1＋t)＝f(－t)＝－f(t)．
所以f(2＋t)＝－f(1＋t)＝f(t)，
所以f(x)的周期为2.
又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，
所以f(3)＋f
＝f(1)＋f＝0－2
＝－.故选C.
答案 C
2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．假照实数t满足f(lnt)＋f<2f(1)时，那么t的取值范围是________．
解析 由于函数f(x)是偶函数，
所以f＝f(－lnt)＝f(lnt)＝f(|lnt|)．
则有f(lnt)＋f<2f(1)⇒2f(lnt)<2f(1)
⇒f(|lnt|)<f(1)⇒|lnt|<1⇒<t<e.
答案
3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．
解析 在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案 f(1)>g(0)>g(－1)
4．定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k为常数)．
(1)推断k为何值时f(x)为奇函数，并证明；
(2)设k＝－1，f(x)是R上的增函数，且f(4)＝5，若不等式f(mx2－2mx＋3)>3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)若f(x)在R上为奇函数，则f(0)＝0，
令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋k，∴k＝0.
证明：令a＝b＝0，由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，
得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
令a＝x，b＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，
即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，∴f(x)是奇函数．
(2)∵f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.
∴f(mx2－2mx＋3)>3＝f(2)对任意x∈R恒成立．
又f(x)是R上的增函数，
∴mx2－2mx＋3>2对任意x∈R恒成立，
即mx2－2mx＋1>0对任意x∈R恒成立，
当m＝0时，明显成立；
当m≠0时，由得0<m<1.
∴实数m的取值范围是[0,1)．
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