2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-12-2-Word版含解析.docx

不等式证明中的易误点
[典例]　(2011·安徽高考)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy.
(2)设1<a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
[审题视角]　1.证明问题(1)有两处易误点：①不能利用分析法将其正确转化，从而无法找到证明问题的切入口；②不能机敏运用综合法将作差后的代数式变形(即分解因式)，从而导致无法证明不等式成立．
2．证明问题(2)时常因忽视条件“1<a≤b≤c”而不能挖掘出其隐含条件，即x＝logab，y＝logbc，从而无法证明不等式．
[解析]　(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，
所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)可知所要证明的不等式成立．

在选择证明方法时，确定要有“综合性选取”的意识，明确数学证明方法不是孤立的，在实际解题时，经常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程．

1．设b>0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2) 证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.
解：(1)解：由已知得＝＋ ·(n≥2)，
当b≠1时，上式变形为：＋＝(＋)，即数列{＋}是以＋＝为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得：
＋＝()n－1＝，
解得an＝；
当b＝1时，有－＝1，即{}是首项公差均为1的等差数列，∴＝n，即an＝1.
综上所述an＝
(2)证明：当b≠1时，欲证2an＝≤bn＋1＋1，只需证2nbn≤(bn＋1＋1)，
∵(bn＋1＋1)＝(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－2＋bn－1)
＝b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1＋bn－1＋bn－2＋…＋1
＝bn(bn＋＋bn－1＋＋…＋b＋)
>bn(2＋2＋…＋2)＝2nbn，
∴2an＝<1＋bn＋1.
当b＝1时，bn＋1＋1＝2＝2an，综上所述2an≤bn＋1＋1.