1、第2讲分类争辩思想、转化与化归思想一、选择题1过双曲线1上任意一点P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于R,Q两点,则的值为()Aa2B.b2 C2abD.a2b2解析当直线PQ与x轴重合时,|a,故选A.答案A2设函数f(x)若f(a)f(a),则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B.(,1)(1,)C(1,0)(1,)D.(,1)(0,1)解析若a0,则log2aloga,即2log2a0,所以a1;若a0,则log(a)log2(a),即2log2(a)0,所以0a1,1a0.所以实数a的取值范围是a1或1a0,即a(1,0)(1,)答案C3若不等式(a2)x22(a2)x40对
2、一切xR恒成立,则a的取值范围是()A(,2B.2,2C(2,2D.(,2)解析当a20即a2时,不等式为40恒成立,所以a2;当a20时,则a满足解得2a2,所以a的范围是(2,2答案C4在ABC中,|AB|3,|AC|4,|BC|5.点D是边BC上的动点,xy,当xy取最大值时,|的值为()A4B.3 C.D.解析|AB|3,|AC|4,|BC|5,ABC为直角三角形如图建立平面直角坐标系,A(0,0),B(3,0),C(0,4),设D(a,b),由xy,得xy.又D在直线lBC:1上,1,则2,即xy,此时a,b2,|.答案C二、填空题5若数列an的前n项和Sn3n1,则它的通项公式an
3、_.解析当n2时,anSnSn13n1(3n11)23n1;当n1时,a1S12,也满足式子an23n1,数列an的通项公式为an23n1.答案23n16.(2022盐城调研)如图,正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1EDF的体积为_解析,DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半,三棱锥FDED1的高即为正方体的棱长,所以DD1ADAB.答案7方程sin2xcos xk0有解,则k的取值范围是_解析求ksin2xcos x的值域kcos2xcos x1(cos x)2.当cos x时,kmin,当cosx1时,kmax1,k1.答案8设
4、正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当取得最大值时,的最大值为_解析由已知得zx23xy4y2(*)则1,当且仅当x2y时取等号,把x2y代入(*)式,得z2y2,所以211.答案1三、解答题9已知函数f(x)2asin2x2asin xcos xab(a0)的定义域是,值域是5,1,求常数a,b的值解f(x)2a(1cos 2x)a sin 2xab2a2ab2asin2ab,又0x,2x,sin1.因此,由f(x)的值域为5,1可得或解得或10已知函数f(x)ln(1x).(1)求f(x)的微小值;(2)若a,b0,求证:ln aln b1.(1)解f (x)(x1)令f(x)0,
5、得x0.列表如下x(1,0)0(0,)f (x)0f(x)微小值由上表可知,x0时f(x)取得微小值f(0)0.(2)证明在x0时,f(x)取得微小值,而且是最小值,于是f(x)f(0)0,从而ln(1x)在x1时恒成立,令1x0,则11,ln aln bln1.因此ln aln bln1在a0,b0时成立ln aln b1.11设F1,F2分别是椭圆D1(ab0)的左、右焦点,过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A,B两点,F1到直线AB的距离为3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.(1)求椭圆D的方程(2)作直线l与椭圆D交于不同的两点P,Q,其中P点的坐标为(a,0),若点N(0,t)
6、是线段PQ垂直平分线上的一点,且满足4,求实数t的值解(1)设F1,F2的坐标分别为(c,0),(c,0),其中c0,由题意得AB的方程为:y(xc)因F1到直线AB的距离为3,所以有3.解得c.所以有a2b2c23.由题意知:2a2b4,即ab2.联立解得:a2,b1.所求椭圆D的方程为y21.(2)由(1)知:P(2,0),设Q(x1,y1),当直线l的斜率不存在时,由已知明显不合要求当直线l的斜率存在时,设直线斜率为k,则直线l的方程为yk(x2),把它代入椭圆D的方程,消去y,整理得:(14k2)x216k2x(16k24)0.由根与系数的关系得2x1,则x1,y1k(x12),所以线段PQ的中点坐标为.()当k0时,则有Q(2,0),线段PQ垂直平分线为y轴,于是(2,t),(2,t),由4t24,解得:t2.()当k0时,则线段PQ垂直平分线的方程为;y,由于点N(0,t)是线段PQ垂直平分线上的一点,令x0,得:t,于是(2,t),(x1,y1t),由2x1t(y1t)4,解得:k,代入t,解得:t.综上,满足条件的实数t的值为2或.