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第2讲 分类争辩思想、转化与化归思想
一、选择题
1．过双曲线－＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则·的值为 ( )．
A．a2 B.b2
C．2ab D.a2＋b2
解析 当直线PQ与x轴重合时，||＝||＝a，故选A.
答案 A
2．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是
( )．
A．(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)
解析 若a＞0，则log2a＞loga，即2log2a＞0，所以a＞1；若a＜0，则
log(－a)＞log2(－a)，即2log2(－a)＜0，所以0＜－a＜1，－1＜a＜0.
所以实数a的取值范围是a＞1或－1＜a＜0，即a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案 C
3．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是
( )．
A．(－∞，2] B.[－2,2]
C．(－2,2] D.(－∞，－2)
解析 当a－2＝0即a＝2时，不等式为－4＜0恒成立，所以a＝2；当a－2≠0时，则a满足解得－2＜a＜2，所以a的范围是(－2,2]．
答案 C
4．在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5.点D是边BC上的动点，＝x＋y，当xy取最大值时，||的值为 ( )．
A．4 B.3
C. D.
解析 ∵|AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5，
∴△ABC为直角三角形．
如图建立平面直角坐标系，A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，设D(a，b)，
由＝x＋y，
得∴xy＝.
又∵D在直线lBC：＋＝1上，
∴＋＝1，
则＋≥2
∴≤，即xy≤，此时a＝，b＝2，||＝＝.
答案 C
二、填空题
5．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则它的通项公式an＝________.
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足式子an＝2×3n－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.
答案 2×3n－1
6.(2022·盐城调研)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．
解析 ，△DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半，三棱锥F－DED1的高即为正方体的棱长，所以＝×DD1×AD×AB＝.
答案
7．方程sin2x＋cos x＋k＝0有解，则k的取值范围是________．
解析 求k＝－sin2x－cos x的值域．
k＝cos2x－cos x－1＝(cos x－)2－.
当cos x＝时，kmin＝－，
当cosx＝－1时，kmax＝1，
∴－≤k≤1.
答案
8．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．
解析 由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.
答案 1
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2asin2x－2asin xcos x＋a＋b(a≠0)的定义域是，值域是[－5,1]，求常数a，b的值．
解 f(x)＝2a·(1－cos 2x)－a sin 2x＋a＋b
＝－2a＋2a＋b
＝－2asin＋2a＋b，
又∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，
∴－≤sin≤1.
因此，由f(x)的值域为[－5,1]
可得
或
解得或
10．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－.
(1)求f(x)的微小值；
(2)若a，b＞0，求证：ln a－ln b≥1－.
(1)解 f ′(x)＝－＝(x＞－1)．
令f′(x)＝0，得x＝0.
列表如下
x
(－1,0)
0
(0，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
微小值
由上表可知，x＝0时f(x)取得微小值f(0)＝0.
(2)证明 在x＝0时，f(x)取得微小值，而且是最小值，于是f(x)≥f(0)＝0，
从而ln(1＋x)≥在x＞－1时恒成立，
令1＋x＝＞0，则＝1－＝1－，
∴ln a－ln b＝ln≥1－.
因此ln a－ln b＝ln≥1－在a＞0，b＞0时成立．
∴ln a－ln b≥1－.
11．设F1，F2分别是椭圆D∶＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.
(1)求椭圆D的方程．
(2)作直线l与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为(－a,0)，若点N(0，t)是线段PQ垂直平分线上的一点，且满足·＝4，求实数t的值．
解 (1)设F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)，其中c＞0，
由题意得AB的方程为：y＝(x－c)．
因F1到直线AB的距离为3，所以有＝3.
解得c＝.
所以有a2－b2＝c2＝3. ①
由题意知：×2a×2b＝4，即ab＝2. ②
联立①②解得：a＝2，b＝1.
所求椭圆D的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知：P(－2,0)，设Q(x1，y1)，
当直线l的斜率不存在时，由已知明显不合要求．当直线l的斜率存在时，设直线斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：
(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由根与系数的关系得－2＋x1＝－，
则x1＝，y1＝k(x1＋2)＝，
所以线段PQ的中点坐标为.
(ⅰ)当k＝0时，则有Q(2,0)，线段PQ垂直平分线为y轴，
于是＝(－2，－t)，＝(2，－t)，
由·＝－4＋t2＝4，解得：t＝±2.
(ⅱ)当k≠0时，则线段PQ垂直平分线的方程为；y－＝－，
由于点N(0，t)是线段PQ垂直平分线上的一点，令x＝0，得：t＝－，
于是＝(－2，－t)，＝(x1，y1－t)，
由·＝－2x1－t(y1－t)＝＝4，
解得：k＝±，代入t＝－，解得：t＝±.
综上，满足条件的实数t的值为±2或±.
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