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第十一节 变化率与导数、导数的计算
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析 f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]
＝3(x2－a2)．
答案 C
2．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
答案 D
3．(2022·大纲全国卷)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
解析 ∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1.
∴k＝y′|x＝1＝e0＋e0＝2，选C.
答案 C
4．(2021·山东烟台期末)若点P是函数y＝ex－e－x－3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析 由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，所以α的最小值是，故选B.
答案 B
5．(2022·重庆七校联盟联考)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是( )
A．2 B．1
C．3 D．－2
解析 由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8两边求导，得
f′(x)＝2f′(2－x)×(－1)－2x＋8.令x＝1得
f′(1)＝2f′(1)×(－1)－2＋8⇒f′(1)＝2，∴k＝2.
答案 A
6．已知函数f(x)＝x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线相互垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是( )
A. B．(0，－4)
C．(2,3) D.
解析 由题，A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)＝2x，则过A，B两点的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2，又切线相互垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x，l2：y＝2x2x－x，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0，由于x1≠x2，所以x＝，代入l1，解得y＝x1x2＝－，故选D.
答案 D
二、填空题
7．若曲线y＝x2＋x－的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切线方程为________．
解析 设切点为(x0，y0)，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝3x0＋1,3x0＋1＝4⇒x0＝1.
又y0＝x＋x0－＝2，则切点为(1,2)，
故切线的方程为y－2＝4(x－1)⇒y＝4x－2.
答案 y＝4x－2
8．(2022·陕西五校联考)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为________．
解析 点(1,3)既在直线y＝kx＋1上，也在曲线y＝x3＋ax＋b上，代入解得k＝2，a＋b＝2，又y′|x＝1＝2，∴3＋a＝2，解得a＝－1.∴b＝3.
答案 3
9．已知函数f(x)＝xn＋1(n∈N*)的图象与直线x＝1交于点P，若函数f(x)的图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn则log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013的值为________．
解析 f′(x)＝(n＋1)xn，∴f′(1)＝n＋1.
又P(1,1)，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得xn＝1－＝，
∴x1x2x3…x2 013＝··…＝.
∴log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013
＝log2 014x1x2x3…x2 013＝log2 014＝－1.
答案 －1
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．
解 (1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，
过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，
∴所求的直线方程为y＝－2.
(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x－3.
又直线过(x0，y0)，P(1，－2)．
故其斜率可表示为＝.
又＝3x－3，
即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线的斜率为k＝3×＝－.
∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.
11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值．
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0.∴a≠－.
∴a的取值范围是∪.
1．设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为( )
解析 ∵f(x)＝xsinx＋cosx，∴f′(x)＝xcosx，
∴k＝g(t)＝tcost.g(t)为奇函数且当0<t<π时，g(t)>0，故选B.
答案 B
2．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
解析 由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，所以函数y＝x2(x>0)在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，当y＝0时，解得x＝，所以ak＋1＝，所以{ak}是首项为16，公比为的等比数列，所以a1＋a3＋a5＝16＋16×2＋16×4＝21.
答案 21
3．(2021·汉城国际学校调研)已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝mx3＋nx2，f′(x)＝3mx2＋2nx，
则∴m＝1，n＝3.
∴f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)．
由f′(x)<0，得－2<x<0.
由题意，得[t，t＋1]⊆[－2,0]．
∴∴－2≤t≤－1.
答案 [－2，－1]
4．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)
解 (1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
由于f(－2)＝－10，f＝，
f＝－，f(1)＝－1.
所以f(x)在区间[－2,1]上的最大值为
f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)．
则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)．
因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)．
整理得4x－6x＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，
g(x)与g′(x)的状况如下：
所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的微小值．
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(0)>0且g(1)<0，即－3<t<－1时，由于g(－1)＝t－7<0，g(2)＝t＋11>0，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．
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