2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《导数的综合应用》.docx

第5课时　导数的综合应用

1.能利用导数争辩函数的单调性、极值、最值等.
2.能利用导数争辩函数的一些综合性问题.

函数与导数是高中数学的核心内容,函数思想贯穿中学数学全过程.导数作为工具,供应了争辩函数性质的一般性方法.作为“平台”,可以把函数、方程、不等式、圆锥曲线等有机地联系在一起,在力量立意的命题思想指导下,与导数相关的问题已成为高考数学命题的必考考点之一.函数与方程、不等式相结合是高考热点与难点.

问题1:在某个区间(a,b)内,假如f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调　　　　;假如f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调　　　　.f'(x)>0(或<0)只是函数f(x)在该区间单调递增(或递减)的　　　　条件,可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(或递减)的充要条件是:对任意x∈(a,b),都有f'(x)≥0(或≤0)且f(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以便利地解决“已知函数的单调性,反过来确定函数解析式中的参数的值或范围”问题. 
问题2:设函数f(x)在点x0四周有定义,假如对x0四周全部的点x,都有f(x)<f(x0),那么f(x0)是函数的一个　　　　　,记作y极大值=f(x0);假如对x0四周的全部的点都有f(x)>f(x0),那么f(x0)是函数的一个　　　　,记作y微小值=f(x0),极大值与微小值统称为　　　　.导数f'(x)=0的点不肯定是函数y=f(x)的极值点,如使f'(x)=0的点的左、右的导数值异号,则是极值点,其中左正右负点是极大值点,左负右正点是微小值点.极大值未必大于微小值. 
问题3:将函数y=f(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是　　　　　,最小的一个是　　　　　. 

1.已知e为自然对数的底数,则函数y=xex的单调递增区间是(　　 ).
A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]
C.[1,+∞) D.(-∞,1]
2.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,-1),则x0的值为(　　 ).
A.1e B.1 C.e D.10

3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有微小值点　　　　个. 

4.等比数列{an}中,a1=1,a2022=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2022),求函数f(x)在点(0,0)处的切线方程.

已知函数的单调性求参数的取值范围问题
若函数f(x)=x3-ax2+1在[0,2]内单调递减,求实数a的取值范围.

利用极值推断方程根的个数
已知函数f(x)=x3-x2-x.
(1)求f(x)的极值;
(2)画出它的大致图像;
(3)指出y=f(x)零点的个数.

对导数的综合考查
已知函数f(x)=x2+2aln x.
(1)若函数f(x)的图像在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间和极值;
(3)若函数g(x)=2x+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.

若函数f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;
(2)在(1)的条件下,f(x)与x轴有3个交点,求c的取值范围.

已知函数f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)=lnxx,其中e是自然常数,a∈R.
(1)当a=1时,求f(x)的极值,并证明f(x)>g(x)+12恒成立.
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

1.函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)>0,f'(x)>0,则函数y=xf(x)(　　 ).
A.存在极大值 B.存在微小值
C.是增函数 D.是减函数
2.函数y=x3+3x在(0,+∞)上的最小值为(　　).
A.4　　　　 B.5　　　　 C.3　　　　 D.1
3.已知函数f(x)=aln x+x在区间[2,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　. 
4.已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=14f(x)+ax3+92x2-b(x∈R),其中a,b∈R.若函数g(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围.

(2021年·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是(　　).
A.存在x0∈R,f(x0)=0
B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C.若x0是f(x)的微小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0
　　考题变式(我来改编):

第5课时　导数的综合应用
学问体系梳理
问题1:递增　递减　充分
问题2:极大值　微小值　极值
问题3:最大值　最小值
基础学习沟通
1.A　令y'=ex(1+x)≥0,又ex>0,∴1+x≥0,∴x≥-1.故选A.
2.B　依题意得,题中的切线方程是y-ln x0=1x0(x-x0).又该切线经过点(0,-1),于是有-1-ln x0=1x0(-x0),由此得ln x0=0,x0=1,选B.
3.1　留意审题,题目给出的是导函数的图像.先由导函数取值的正负确定函数的单调性,然后列表可推断函数微小值点有1个.
4.解:f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2022)+x·(x-a2)(x-a3)…(x-a2022)+x(x-a1)(x-a3)…(x-a2022)+…+x(x-a1)(x-a2)…(x-a2 011),
∴f'(0)=(-a1)·(-a2)…(-a2022)=(a1a2022)1 006=22022,
∴切线方程为y=22022x.
重点难点探究
探究一:【解析】f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),
当a=0时,f'(x)≥0,故y=f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,与y=f(x)在[0,2]内单调递减不符,舍去;
当a<0时,由f'(x)≤0得23a≤x≤0,即f(x)的减区间为[23a,0],与y=f(x)在[0,2]内单调递减不符,舍去;
当a>0时,由f'(x)≤0得0≤x≤23a,即f(x)的减区间为[0,23a],由y=f(x)在[0,2]内单调递减得23a≥2,即a≥3.
综上,可知a的取值范围是[3,+∞).
【小结】已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法:
(1)利用集合的包含关系处理:f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理:f(x)在(a,b)上单调,则f'(x)≥0或f'(x)≤0在(a,b)内恒成立,留意验证等号是否成立.
　　探究二:【解析】(1)由已知得f'(x)=3x2-2x-1,
令f'(x)=0,解得x1=-13,x2=1.
当x变化时,f'(x)、f(x)的变化状况如下表:
x
(-∞,-13)
-13
(-13,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
微小值
↗

　　所以f(x)的极大值是f(-13)=527,微小值是f(1)=-1.
(2)当x→-∞时,f(x)→-∞;
当x→+∞时,f(x)→+∞.
令f(x)=0得x=0或1±52,结合函数的单调性及极值可画出f(x)的大致图像,如图:

(3)由图像可知函数f(x)图像与x轴有3个交点,
即y=f(x)有3个零点.
【小结】先求出函数的极值点和极值,从而把握函数在定义域上各个区间的单调性和在极值点处的函数值及x→∞时,f(x)的变化趋势,据此可画出函数的大致图像,依据图像,利用必修一中的零点定理,确定方程实数(函数零点)的个数,这是导数的一个重要应用.
　　探究三:【解析】(1)f'(x)=2x+2ax=2x2+2ax,
由已知f'(2)=1,解得a=-3.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
①当a≥0时,f'(x)>0,因此f(x)的单调递增区间为(0,+∞),这时函数无极值;
②当a<0时f'(x)=2(x+-a)(x--a)x.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化状况如下:
x
(0,-a)
-a
(-a,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
微小值
↗

　　因此函数f(x)的单调递减区间是(0,-a),单调递增区间是(-a,+∞).
当x=-a时,函数有微小值f(-a)=-a+2aln -a.
(3)由g(x)=2x+x2+2aln x得g'(x)=-2x2+2x+2ax,
因函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,则g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-2x2+2x+2ax≤0在[1,2]上恒成立,即a≤1x-x2在[1,2]上恒成立.
令h(x)=1x-x2,则h'(x)=-1x2-2x=-(1x2+2x)<0在[1,2]上恒成立,
所以h(x)在[1,2]为减函数,故h(x)min=h(2)=-72,所以a≤-72.
易知当a=-72时也满足题意,
故实数a的取值范围为a≤-72.
【小结】本题简洁消灭以下失误:①通过第(1)问的条件“函数f(x)的图像在(2,f(2))处的切线斜率为1”求出的a值,有的同学错误地将其作为第(2)问的条件;②对于(2)得到的不等式不能正确地进行争辩;③对于(3)的恒成立问题,意识不到将其分别参数,致使处理起来比较繁琐.
思维拓展应用
应用一:函数f(x)的导数f'(x)=x2-ax+a-1.
令f'(x)=0,解得x=1或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意;
当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,
在(1,a-1)内为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.
依题意应当x∈(1,4)时,f'(x)<0;
当x∈(6,+∞)时,f'(x)>0.
所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.
所以a的取值范围是[5,7].
　　应用二:(1)f'(x)=3x2-2ax+b,
∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,
∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根,
∴-1+3=23a,-1×3=b3,∴a=3,b=-9.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f'(x)=3x2-6x-9,当x变化时,f'(x)、f(x)的变化状况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
微小值
↗

　　而f(-1)=c+5,f(3)=c-27,
依据题意有c+5>0且c-27<0,
∴c的取值范围为-5<c<27.
　　应用三:(1)当a=1时,f(x)=x-ln x,
∴f'(x)=1-1x=x-1x.
∴当0<x<1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减;
当1<x≤e时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.
∴f(x)的微小值为f(1)=1.
∴f(x)在(0,e]上的最小值为1.
令h(x)=g(x)+12=lnxx+12,则h'(x)=1-lnxx2,
当0<x<e时,h'(x)>0,则h(x)在(0,e]上单调递增,
∴h(x)max=h(e)=1e+12<12+12=1=f(x)min.
∴f(x)>g(x)+12恒成立.
(2)假设存在实数a,使f(x)=ax-ln x(x∈(0,e])有最小值3.
　　∵f'(x)=a-1x=ax-1x.
①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减,
∴f(x)min=f(e)=ae-1=3,
∴a=4e(舍去),
∴当a≤0时,不存在实数a使f(x)的最小值为3.
②当0<1a<e,即a>1e时,f(x)在(0,1a)上单调递减,在(1a,e]上单调递增,
∴f(x)min=f(1a)=1+ln a=3,∴a=e2,满足条件.
③当1a≥e,即0<a≤1e时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae-1=3,∴a=4e(舍去),
∴当1a≥e时,不存在实数a使f(x)的最小值为3.
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,f(x)有最小值3.
基础智能检测
1.C　∵y'=f(x)+xf'(x),而函数f(x)的定义域为(0,+∞)且f(x)>0,f'(x)>0,∴y'>0在(0,+∞)上恒成立.因此y=xf(x)在(0,+∞)上是增函数.
2.A　y'=3x2-3x2,令y'=0,即x2-1x2=0,解得x=±1.由于x>0,所以x=1.在(0,+∞)上,由于只有一个微小值,所以它也是最小值,从而函数在(0,+∞)上的最小值为13+31=4.
3.[-2,+∞)　∵f(x)=aln x+x,∴f'(x)=ax+1.又∵f(x)在[2,3]上单调递增,∴ax+1≥0在x∈[2,3]上恒成立,∴a≥(-x)max=-2,∴a∈[-2,+∞).
4.解:(1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,
∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,
∴-1<m<3.又m∈Z,∴m=0,1,2,
而m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数,m=1时,f(x)=x4是偶函数,
∴f(x)=x4.
(2)g(x)=14x4+ax3+92x2-b, g'(x)=x(x2+3ax+9),
明显x=0不是方程x2+3ax+9=0的根.
为使g(x)仅在x=0处有极值,则有x2+3ax+9≥0恒成立,
即有Δ=9a2-36≤0,解不等式,得a∈[-2,2].
这时,g(0)=-b是唯一极值,∴a∈[-2,2].
全新视角拓展
C　f'(x)=3x2+2ax+b,若x0是f(x)的微小值点,则f(x)必有两个极值点,不妨设另一个极值点为x1,则f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x0)上单调递减.