2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《反证法》.docx

第 4 课时 反 证 法 1.理解反证法的概念.2.了解反证法的思考过程与特点,把握反证法证明问题的步骤.3.理解反证法与命题的否定之间的关系.生活中的反证法:妈妈经常因家里谁做错了事而大发雷霆.有一次,我和爸爸在看电视,妹妹和妈妈在厨房洗碗.突然,有盘子打碎了,当时一片安静.我说肯定是妈妈打破的.为什么呢?问题 1:如何证明上述结论呢?证明:假如 ,妈妈肯定会大骂,当时是没有.所以结论是妈妈打破了盘子.问题 2:反证法的意义及用反证法证明命题的基本步骤 假设命题结论的 成立,经过正确的推理,引出冲突,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法.用反证法证明问题的基本步骤:(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个 ,经过推理论证,得出 ;(3)从冲突判定假设不正确,从而确定命题的结论正确.问题 3:反证法得出的冲突的主要类型(1)与已知条件冲突,(2)与已有公理、定理、定义冲突,(3)自相冲突.问题 4:适合用反证法证明的试题类型(1)直接证明困难,(2)需分成很多类进行争辩,(3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题,(4)结论为“唯一”类命题.1.否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是().A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 2.用反证法证明命题“假如ab,那么 ”时,假设的内容应是().A.=B.C.=且 D.=或 1),用反证法证明:f(x)=0 没有负实根.用反证法证明否定性命题 设an,bn是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明:数列cn不是等比数列.用反证法证明唯一性命题 求证:方程 5x=12 的解是唯一的.用反证法证明至多、至少等形式的命题 实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd1,求证:a,b,c,d中至少有一个负数.已知a,b,c(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于 .已知a与b是异面直线.求证:过a且平行于b的平面只有一个.若a、b、c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a、b、c中至少有一个大于 0.1.应用反证法推出冲突的推导过程中要把下列哪些作为条件使用().结论相反的推断即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原结论.A.B.C.D.2.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是().A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 3.在用反证法证明命题“若x0,y0 且x+y2,则 和 中至少有一个小于 2”时,假设为“”.4.用反证法证明:假如x ,那么x2+2x-10.(2021 年陕西卷)设an是公比为q的等比数列,(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.考题变式(我来改编):答案 第 4 课时 反 证 法 学问体系梳理 问题 1:不是妈妈打破的 问题 2:反面(2)假设动身 冲突 基础学习沟通 1.C 2.D 否定结论 ,可得 ,即 =或 .3.不能 a、b、c成等差数列,2b=a+c,假设 、成等差数列,则 =+,(a+c)2=4ac,(a-c)2=0,a=c,从而d=0,与d0 冲突,、不行能成等差数列.4.解:假设存在x00(x0-1),满足f(x0)=0,则 =-.又 0 1,所以 0-1,即 x02,与假设x00(x0-1)冲突,故f(x)=0 没有负实根.重点难点探究 探究一:【解析】假设数列cn是等比数列,则(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),由于an,bn是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以 =an-1an+1,=bn-1bn+1,代入并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn(+),即 2=+,当p,q异号时,+2,与相冲突.故数列cn不是等比数列.【小结】利用反证法证明本题的关键是假设数列cn是等比数列后,依据等比数列的性质找到冲突.题目利用了等比中项找到an,bn的公比满足的条件 2=+,结合不等式的学问可知此式不成立,从而得到冲突.探究二:【解析】由对数的定义易得x1=log512 是这个方程的一个解.假设这个方程的解不是唯一的,它还有解x=x2(x1x2),则 =12.由于 =12,则 =1,即 -=1.由假设得x2-x10,当x2-x10 时,有 -1;当x2-x10 时,有 -1 冲突,所以a,b,c,d至少有一个负数.【小结】解决本题的关键是假设a,b,c,d都是非负数后,通过怎样的途径来找冲突.本题给出了两个条件“a+b=c+d=1,ac+bd1”,明显应将这两个条件联系起来,这样很自然地想到利用(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)建立两个已知的关系,从而为找冲突奠定基础.思维拓展应用 应用一:假设三式同时大于 ,即(1-a)b ,(1-b)c ,(1-c)a ,a,b,c(0,1),三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a ,又(1-a)a(-)2=,同理,(1-b)b ,(1-c)c ,(1-a)b(1-b)c(1-c)a ,这与假设冲突,故原命题得证.应用二:如图,假设过直线a且平行于直线b的平面有两个,分别为平面和.在直线a上取点A,过b和A确定一个平面,且与、分别交于过点A的直线c、d,由b知bc,同理bd,故cd,这与c,d相交于点A冲突,故假设不成立,所以原结论成立.应用三:假设a、b、c都不大于 0,即a0,b0,c0,所以a+b+c0,而a+b+c=(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+)=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3-30.这与a+b+c0 冲突,故a、b、c中至少有一个大于 0.基础智能检测 1.C 反证法是从对原命题结论的否定开头的,故结论相反的推断即假设可作为条件使用,从而原结论不行作为条件应用.同时原命题的条件未转变,也可作为条件来使用,还有一些公理、定理、定义等也可作为条件来使用.2.C 3.和 都不小于 2 4.解:假设x2+2x-1=0,则x=-1.简洁看出-1-,下面证明-1+.要证-1+,只需证 ,只需证 2 ,上式明显成立,故有-1+.综上,x=-1 相冲突,因此假设不成立,即原命题成立.全新视角拓展 解:(1)设an的前n项和为Sn,当q=1 时,Sn=a1+a1+a 1=na1;当q1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=-,Sn=-(2)假设an+1是等比数列,则对任意的kN+,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),即 +2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,a10,2qk=qk-1+qk+1,q0,q2-2q+1=0,q=1,这与已知冲突,假设不成立,故an+1不是等比数列.思维导图构建 原命题 冲突