高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-解题思想方法：反证法.docx

反证法与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：确定题设而否定结论，从而导出冲突推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若确定定理的假设而否定其结论，就会导致冲突”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的规律推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，冲突的缘由是假设不成立，所以确定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法所依据的是规律思维规律中的“冲突律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个相互冲突的推断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是规律思维中的“冲突律”；两个相互冲突的推断不能同时都假，简洁地说“A或者非A”，这就是规律思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到冲突的推断，依据“冲突律”，这些冲突的推断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再依据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的相互否定的推断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以规律思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”。即从否定结论开头，经过正确无误的推理导致规律冲突，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出冲突 结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；其次步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出冲突；第三步，结论：说明反设不成立，从而确定原命题成立。在应用反证法证题时，确定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，假如欲证明的命题的方面状况只有一种，那么只要将这种状况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；假如结论的方面状况有多种，那么必需将全部的反面状况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式毁灭的命题；或者否定结论更明显。具体、简洁的命题；或者直接证明难以下手的命题，转变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得格外干脆。、再现性题组：1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)0 _。A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根2. 已知a0,1bab ab B. ababa C. aba ab D. ab aba3. 已知l，a ，b ，若a、b为异面直线，则_。A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交4. 四周体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_。(97年全国理)A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例冲突，选A；2小题：接受“特殊值法”，取a1、b0.5，选D；3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；4小题：分析清楚结论的几种状况，列式是：CC436,选D。、示范性题组：例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出冲突后，再确定“不垂直”。【证明】 假设AC平面SOB， 直线SO在平面SOB内， ACSO， SO底面圆O， SOAB， SO平面SAB， 平面SAB底面圆O，这明显毁灭冲突，所以假设不成立。即AC与平面SOB不垂直。【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出冲突。例2. 若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面状况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面状况时a的范围，再所得范围的补集就是正面状况的答案。【解】 设三个方程均无实根，则有：,解得,即a1。所以当a1或a时，三个方程至少有一个方程有实根。【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使状况变得简洁。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。例3. 给定实数a，a0且a1，设函数y (其中xR且x)，证明：.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； .这个函数的图像关于直线yx成轴对称图像。(88年全国理)。【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出冲突从而推翻假设。【证明】 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则xx,假设直线MM平行于x轴，则必有yy，即，整理得a(xx)xxxx a1， 这与已知“a1”冲突， 因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x，即原函数y的反函数为y，图像全都。由互为反函数的两个图像关于直线yx对称可以得到，函数y的图像关于直线yx成轴对称图像。【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的状况下，简洁得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a1相互冲突。第问中，对称问题使用反函数对称性进行争辩，方法比较奇异，要求对反函数求法和性质运用娴熟。、巩固性题组：1. 已知f(x)，求证：当xx时，f(x)f(x)。2. 已知非零实数a、b、c成等差数列，ac，求证：、不行能成等差数列。3. 已知f(x)xpxq，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 。4. 求证：抛物线y1上不存在关于直线xy0对称的两点。5. 已知a、bR，且|a|b|1，求证：方程xaxb0的两个根的确定值均小于1。6. 两个相互垂直的正方形如图所示，M、N在相应对角线上，且有EMCN，求证：MN不行能垂直CF。