高中数学(北师大版)选修1-2教案：第3章-拓展资料：点拨“反证法”.docx

点拨“反证法”
　　反证法是一种重要的间接证明方法，下面加以系统归纳，供参考．
　　1．宜用反证法证明的题型
　　①易导出与已知冲突的命题；②否定性命题；③惟一性命题；④至少至多型命题；⑤一些基本定理；⑥必定性命题等．
　　2．步骤
　　①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设动身，经过推理论证，得出冲突（归谬）；③由冲突推断假设不成立，从而确定命题的结论成立（结论）．
3．典例分析
　　例　求证：a、b、c为正实数的充要条件是，且和．
　　分析：由a、b、c是正实数，明显易得，，．即“必要性”的证明用直接证法易于完成，并不需要用反证法．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a、b、c是正实数，有些难度，于是，试试反证法．
　　证明：（1）证必要性．（略）
　　（2）证充分性．假设a、b、c不全为正实数（原结论是a、b、c都是正实数），由于，则它们只能是二负一正．
　　不妨设且且，
　　又由于，
　　∵，∴．①
　　又∵，∴．②
　　而，
　　∴，与的假设冲突．
　　∴假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数．
　　说明：假如从①处开头，如下进行推理：
　　∵，即，又，∴．
　　则，与①式冲突．
这样，冲突的焦点就发生在两部分推理的结论上了，即自相冲突；还可以让冲突的焦点发生在已知条件上，从②处开头，于是，与已知冲突，这个途径最简捷．
评注：反证法冲突的焦点，可以是和“已知条件”或“定义”、“公理”、“定理”、“反面假设”冲突，也可以自相冲突（即两部分推理的结果）．其本质是，先利用的和剩余者之间的冲突．到底先利用哪些好，应依据题目的具体状况打算．顺其自然，因势利导，不必拘泥于一格．