2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《函数的极值》.docx

第2课时函数的极值1.了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值与导数的关系,并会机敏应用.2.把握函数极值的判定及求法.3.应用极值解决求参数值、参数取值范围、推断方程的根的个数等问题.若函数f(x)的定义域为区间(a,b),导数f(x)在(a,b)内的图像如图所示,用极值的定义你能推断函数f(x)在(a,b)内的微小值点有几个吗?问题1:推断函数y=f(x)的极值的一般方法解方程f(x)=0.当f(x0)=0时:(1)假如在x0四周的左侧f(x0)0,右侧f(x0)0,那么f(x0)是;(2)假如在x0四周的左侧f(x0)0,那么f(x0)是.问题2:用导数求函数极值的方法和步骤假如y=f(x)在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值.第一步,求导数f(x).其次步,求方程的根x=x0.第三步,推断x=x0是不是函数的极值点,若是,则求f(x0)的值,即为,若不是,则.问题3:函数的极值有助于分析函数的最值与值域吗?与函数单调性的关系呢?函数的极值有助于分析函数的最值或值域,其实质就是函数单调性的升华.1.已知f(x0)=0,则下列结论中正确的是().A.x0肯定是极值点B.假如在x0四周的左侧f(x)0,右侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是微小值D.假如在x0四周的左侧f(x)0,那么f(x0)是极大值2.函数y=ax3+bx2取得极大值和微小值时的x的值分别为0和13,则().A.a-2b=0B.2a-b=0C.2a+b=0D.a+2b=03.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m=.4.若y=x3+kx在R上无极值,求k的取值范围.函数的极值与导数的关系求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值与极值点.利用函数极值确定参数的值已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a,b的值.含有参数的函数极值的方法与争辩已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围.求函数f(x)=3x+3ln x的极值与极值点.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值;(2)推断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是微小值点,并说明理由.设函数f(x)=x3-6x+5,xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.1.函数f(x)=x3-3x2-9x(-2x2)有( ).A.极大值5,微小值-27B.极大值5,微小值-11C.极大值5,无微小值D.微小值-27,无极大值2.函数y=x3-3bx+3b在(0,1)内有微小值,则b的取值范围是().A.0b1B.b1C.b1D.b03.若函数y=f(x)是定义在R上的可导函数,则“f(x0)=0”是“x0为函数y=f(x)的极值点”的条件.4.已知f(x)=x3+12mx2-2m2x-4(m为常数,且m0)有极大值-52,求m的值.(2022年全国卷)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是().A.(2,+)B.(-,-2)C.(1,+)D.(-,-1)考题变式(我来改编):答案第2课时函数的极值学问体系梳理问题1:(1)极大值(2)微小值问题2:f(x)=0极值无极值基础学习沟通1.B直接依据极值概念推断,也可画出图像进行分析.2.Dy=3ax2+2bx,据题意,0、13是方程3ax2+2bx=0的两根,-2b3a=13,a+2b=0.3.-19y=-3x2+12x,由y=0,得x=0或x=4,简洁得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+642+m=13,解得m=-19.4.解:y=3x2+k,y=x3+kx在R上无极值,y0恒成立,k0,+).重点难点探究探究一:【解析】f(x)=3x2-6x-9.解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.当x变化时,f(x),f(x)的变化状况如下表:x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)f(x)+0-0+f(x)10-22由表可知:当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=10,x=-1是极大值点;当x=3时,f(x)有微小值f(3)=-22,x=3是微小值点.【小结】求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数f(x)的定义区间,求导数f(x);(2)求方程f(x)=0的根;(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号,假如左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;假如左负右正,那么f(x)在这个根处取得微小值;假如左右不转变符号,那么f(x)在这个根处无极值.探究二:【解析】由于f(x)在x=-1时有极值0,且f(x)=3x2+6ax+b,所以f(-1)=0,f(-1)=0,即3-6a+b=0,-1+3a-b+a2=0.解得a=1,b=3,或a=2,b=9.当a=1,b=3时,f(x)=3x2+6x+3=3(x+1)20,所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去.当a=2,b=9时,f(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).当x(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x(-1,+)时,f(x)为增函数,所以f(x)在x=-1时取得微小值,因此a=2,b=9.【小结】(1)利用函数的极值确定参数的值,常依据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)由于“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必需验证根的合理性.探究三:【解析】(1)f(x)=3x2-3a=3(x2-a).当a0,当a0时,由f(x)0解得xa,由f(x)0解得-ax0时,f(x)的单调增区间为(-,-a),(a,+),f(x)的单调减区间为(-a,a).(2)f(x)在x=-1处取得极值,f(-1)=3(-1)2-3a=0,a=1.f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3.由f(x)=0解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得微小值f(1)=-3.直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点,又f(-3)=-191,结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(-3,1).【小结】(1)求解不等式时,要对字母a进行争辩;(2)将问题转化为求函数的极大值和微小值,再利用数形结合的思想方法,就可求出m的范围.思维拓展应用应用一:函数f(x)=3x+3ln x的定义域为(0,+),f(x)=-3x2+3x=3(x-1)x2.令f(x)=0,得x=1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化状况如下表:x(0,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)3因此当x=1时,f(x)有微小值f(1)=3,x=1是微小值点.应用二:(1)f(x)=aln x+bx2+x,f(x)=ax+2bx+1.由极值点的必要条件可知f(1)=f(2)=0,a+2b+1=0,a2+4b+1=0,解方程组,得a=-23,b=-16.(2)由(1)可知f(x)=-23ln x-16x2+x.f(x)=-23x-1-13x+1=-(x-1)(x-2)3x.当x(0,1)时,f(x)0;当x(2,+)时,f(x)2或x0;当-2x2时,f(x)0,所以f(x)的单调递增区间为(-,-2)和(2,+),单调递减区间为(-2,2).当x=-2时,f(x)有极大值5+42;当x=2时,f(x)有微小值5-42.(2)由(1)的分析知y=f(x)的图像的大致外形及走向如图所示.所以,当5-42a5+42时,直线y=a与y=f(x)的图像有三个不同的交点,即方程f(x)=a有三个不同的实根.基础智能检测1.C令 f(x)=3x2-6x-9=0得x=3或x=-1,函数在(-2,-1)上递增,在(-1,2)上递减,故极大值为 f(-1)=5,无微小值.2.Ay=3x2-3b,结合图像可知f(0)0,解得0b1.3.必要不充分f(x0)=0不肯定能得出x0为极值点.如f(x)=x3,f(0)=0,但0不是极值点,若x0为y=f(x)的极值点,肯定能得出f(x0)=0.4.解:f(x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m),令f(x)=0,得x=-m或x=23m.当x变化时,f(x),f(x)的变化状况如下表:x(-,-m)-m(-m,23m)23m(23m,-)f(x)+0-0+f(x)极大值微小值f(x)极大值=f(-m)=-m3+12m3+2m3-4=-52,m=1.全新视角拓展B当a=0时,明显不满足条件,故a0,由f(x)=ax3-3x2+1可得f(x)=3ax2-6x,由f(x)=0可得x=0或x=2a.当a0,可得a0时,函数f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,2a)内单调递减,在(2a,+)上单调递增,结合函数图像可知,不存在满足条件的实数a.综上所述,a-2.