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第3课时 函数的最大值与最小值
1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区分与联系.
2.把握求在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大值和最小值的方法和步骤.
如图,设铁路线AB=50 km,点C处与B之间的距离为10 km,现将货物从A运往C,已知1 km铁路费用为2元,1 km大路费用为4元,在AB上M处修筑大路至C,使运费由A到C最省,求M的具体位置.
问题1:函数的最值
函数的最值分为函数的最大值与最小值,函数的最大值和最小值是一个整体性概念, 必需是整个区间上全部函数值中的最大者, 必需是整个区间上的全部函数值中的最小者.
问题2:函数的最值与极值的区分
(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出的,极大值、微小值是比较 四周的函数值得出的;
(2)函数的极值可以有多个,但最值只能有 个;
(3)极值只能在区间内取得,最值可以在 处取得;
(4)有极值未必有最值,有最值也未必有极值;
(5)极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得,那么最值必定是 .
问题3:求函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:
(1)求f(x)在开区间(a,b)内全部使 的点.
(2)计算函数f(x)在区间内使f'(x)=0的全部点及 的函数值,其中最大的一个为 ,最小的一个为 .
问题4:利用导数可以解决以下类型的问题:
(1)恒成立问题;(2)函数的 即方程根的问题;(3)不等式的证明问题;(4)求参数的取值范围问题.
1.下列说法正确的是( ).
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的微小值就是函数的最小值
C.函数的最值肯定是极值 D.在闭区间上的连续函数肯定存在最值
2. 函数f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f'(x)( ).
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
3.函数y=x·e-x在x∈[2,4]上的最小值为 .
4.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,且a>0,求a,b的值.
利用导数求函数的最值
求函数f(x)=13x3-4x+4在[0,3]上的最大值与最小值.
利用函数的最值求参数的范围
函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( ).
A.0≤a<1 B.0<a<1 C.-1<a<1 D.0<a<12
利用导数解决恒成立问题
已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)在[-2,2]上的最大值.
已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a>12),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则a的值等于 .
设f(x)=x3-12x2-2x+5.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.
1.下列命题中正确的是( ).
A.一个函数的极大值总是比微小值大
B.函数的导数为0时对应的点不肯定是极值点
C.一个函数的极大值总比最大值小
D.一个函数的最大值可以比最小值小
2.函数f(x)=x3-x2-x+1在[-1,1]上的最大值为( ).
A.427 B.827 C.1627 D.3227
3.假如函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上的最大值为3,那么函数在此区间上的最小值为 .
4.已知f(x)=x3-12x2-2x+a,对任意x∈[-1,2]有f(x)<3a2,求a的取值范围.
(2022年·重庆卷)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.
考题变式(我来改编):
答案
第3课时 函数的最大值与最小值
学问体系梳理
问题1:最大值 最小值
问题2:(1)极值点 (2)一 (3)端点 (5)极值
问题3:(1)f'(x)=0 (2)端点 最大值 最小值
问题4:零点
基础学习沟通
1.D 最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的.
2.A 由题意知函数在闭区间上全部函数值相等,故其导数为0.
3.4e4 y'=ex-xexex2=1-xex,当x∈[2,4]时,y'<0,即函数y=x·e-x在x∈[2,4]上单调递减,故当x=4时,函数有最小值为4e4.
4.解:f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f'(x)=0,得x=0或x=4,
则函数f(x)在[-1,2]上的单调性及极值状况如下表所示:
x
[-1,0)
0
(0,2]
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
∴f(0)=b=3.
又∵f(-1)=-a-6a+3=-7a+3,
f(2)=8a-24a+3=-16a+3<f(-1),
∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.
重点难点探究
探究一:【解析】 f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,即x2-4=0,由于f'(x)>0时,x<-2或x>2,f'(x)<0时,-2<x<2,所以在[0,3]上,当x=2时,f(x)取微小值,微小值为f(2)=-43.
又由于f(0)=4,f(3)=1,因此,函数f(x)=13x3-4x+4在[0,3]上的最大值是4,最小值是-43.
【小结】设函数f(x)在[a,b]上连续,即在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值.
探究二:【解析】f'(x)=3x2-3a,∵在开区间(0,1)内有最小值,
∴最小值点肯定不是端点,且在(0,1)内,
∴在(0,1)上f(x)有极值,即f'(x)=0有根,
∴f'(0)·f'(1)<0.
即(-3a)·(3-3a)<0,得0<a<1.
[问题]上述求解过程正确吗?
[结论]结果正确,但过程不正确,由于上述过程不能体现在区间(0,1)内f(x)有极大值还是微小值,也就是f(x)有最大值,还是最小值,正解如下:
由题意f'(x)=3x2-3a的图像在(0,1)内与x轴有交点,且函数图像由下到上与x轴相交.
∴f'(0)<0,f'(1)>0, 得0<a<1.
【答案】B
【小结】本题解答关键是通过导数得到原函数的极值、单调性等性质,障碍在于如何将题意进行等价转化,同时要留意结合函数零点存在性定理.
探究三:【解析】(1)f'(x)=3x2+4x+1,令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=-13.
当x变化时,f'(x)、f(x)的变化状况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,-13)
-13
(-13,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
微小值
递增
∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4;
当x=-13时,f(x)取得微小值为-11227.
(2)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,
F(x)≥0在[0,+∞)上恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞).
若2-a≥0,即a≤2,明显F(x)min=4>0.
若2-a<0,即a>2,f'(x)=3x2+(4-2a)x,
令f'(x)=0,解得x=0或x=2a-43.
当0<x<2a-43时,f'(x)<0;
当x>2a-43时,f'(x)>0,
∴当x∈(0,+∞)时,F(x)min=F(2a-43)≥0,
即(2a-43)3+(2-a)(2a-43)2+4≥0,
解不等式得a≤5,∴2<a≤5.
当x=0时,F(x)=4满足题意.
综上所述,a的取值范围为(-∞,5].
【小结】本题的关键是构造新函数,将问题转化为函数的最小值不小于0,再求参数范围.
思维拓展应用
应用一:(1)f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2.
当0<x<2时,f'(x)<0,函数递减;
当-2<x<0时,f'(x)>0,函数递增.
又f(-2)=-40+a, f(0)=a, f(2)=-8+a,
所以f(x)min=f(-2)=-40+a,
由已知得-40+a=-37,解得a=3.
(2)由(1)知函数f(x)在[-2,2]上的最大值为f(0)=a=3.
应用二:1 ∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1,
当x∈(0,2)时,f'(x)=1x-a,令f'(x)=0得x=1a,又a>12,∴0<1a<2.
令f'(x)>0,则x<1a,∴f(x)在(0,1a)上递增;
令f'(x)<0,则x>1a,∴f(x)在(1a,2)上递减,
∴f(x)max=f(1a)=ln1a-a·1a=-1,∴ln1a=0,得a=1.
应用三:(1)由已知得f'(x)=3x2-x-2,
令f'(x)=0,即3x2-x-2=0,解得x=1或x=-23,
∴当x∈(-∞,-23)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,
当x∈(-23,1)时,f'(x)<0,f(x)为减函数,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,
∴f(x)的递增区间为(-∞,-23)和(1,+∞),递减区间为(-23,1).
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,
只需使f(x)在[-1,2]上的最大值小于m即可.
由(1)知f(x)极大值=f(-23)=5+2227,f(x)微小值=f(1)=72,
又∵f(-1)=112,f(2)=7,
∴f(x)在[-1,2]上的最大值为f(2)=7,
∴m>7,即m的取值范围为(7,+∞).
基础智能检测
1.B
2.D 令f'(x)=3x2-2x-1=0得x=1或x=-13,由于f(1)=f(-1)=0,f(-13)=3227,所以函数在[-1,1]上的最大值为3227.
3.-37 f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,
列表得:
x
-2
(-2,0)
0
(0,2)
2
f'(x)
+
0
-
f(x)
m-40
↗
m
↘
m-8
故当x=0时,f(x)max=m=3,当x=-2时,f(x)min=3-40=-37.
4.解:对任意x∈[-1,2]有f(x)<3a2成立,转化为f(x)max<3a2,f'(x)=3x2-x-2,令f'(x)=0,解得x=1或x=-23,
x
-1
(-1,-23)
-23
(-23,1)
1
(1,2)
2
y'
+
0
-
0
+
y
12+a
↗
2227+a
↘
a-32
↗
2+a
当x=2时,f(x)max=2+a,即a+2<3a2,
解得a<-23或a>1.
全新视角拓展
解:(1)因f(x)=ax3+bx+c,故f'(x)=3ax2+b.
由于f(x)在点x=2处取得极值c-16.
故有f'(2)=0,f(2)=c-16,
即12a+b=0,8a+2b+c=c-16,化简得12a+b=0,4a+b=-8.
解得a=1,b=-12.
(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,
f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).
令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;
当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数;
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数.
由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x2=2处取得微小值f(2)=c-16.
由题设条件知16+c=28得c=12.
且f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,
因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.
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