2021高考数学(福建-理)一轮作业：7.2-一元二次不等式及其解法.docx

§7.2 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式≤0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(－1,2]　　　　 B．(－1,2]
C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．[－1,2]
解析 ∵≤0⇔⇔
∴x∈(－1,2]．
答案 B
2. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
解析 由于集合,所以,选B.
答案 B
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是(　　)．
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
解析　由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
答案　A
4. 已知全集U为实数集R，集合A＝，集合∁UA＝{y|y＝x，
x∈[－1,8]}，则实数m的值为(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析 集合∁UA＝＝[－1,2]，故不等式>0，
即不等式(x＋1)(x－m)>0的解集为(－∞，－1)∪(m，＋∞)，所以m＝2.
答案　A
5．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　)．
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析　依据给出的定义得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故这个不等式的解集是
(－2,1)．
答案　B
6．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是(　　)．
A. B．[2,8] C．[2,8) D．[2,7]
解析　由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x]＜，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8.
答案　C
7．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(　　)．
A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B．[－3，－1]
C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞)
解析　当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故其对称轴为x＝－＝－2，∴b＝4.又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，当x≤0时，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x＞0时，f(x)＝－2≤1明显成立，故不等式的解集为
[－3，－1]∪(0，＋∞)．
答案　C
二、填空题
8．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．
解析　原不等式等价于或或解得1≤x≤3或x＞3，故原不等式的解集为{x|x≥1}．
答案　{x|x≥1}
9．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________．
解析　由函数f(x)的图象可知(如下图)，满足f(1－x2)＞f(2x)分两种状况：

①⇒0≤x＜－1.
②⇒－1＜x＜0.
综上可知：－1＜x＜－1.
答案　(－1，－1)
10．若关于x的不等式x2＋x－()n≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．
解析 由题意得x2＋x≥()＝，
∴x≥或x≤－1.
又x∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．
答案 (－∞，－1]
11．已知f(x)＝则不等式f(x)≤2的解集是________．
解析 依题意得或解得x∈(－∞，－2]∪[1,2]∪.
答案 (－∞，－2]∪[1,2]∪
12．若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足－2≤m≤2的全部m都成立，则x的取值范围为________．
解析　(等价转化法)将原不等式化为：m(x2－1)－(2x－1)＜0.令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，则原问题转化为当－2≤m≤2时，f(m)＜0恒成立，只需即可，即解得＜x＜.
答案　
【点评】 本题用转变主元的方法，将m视为主变元，即“反客为主”法，把较简洁问题转化为较简洁问题、较常见问题来解决.
三、解答题
13．已知f(x)＝2x2－4x－7，求不等式≥－1的解集．
解析 原不等式可化为≥－1，
等价于≤1，
即－1≤0，
即≤0.
由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.
所以原不等式等价于即
所以原不等式的解集为{x|－2≤x<1或1<x≤4}．
14．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．
思路分析　第(2)问将不等式f(x)＜5－m，x∈[1,3]恒成立转化为m＜g(x)，
x∈[1,3]上恒成立，再求g(x)的最小值即可．
解析　(1)由题意可得m＝0或⇔m＝0或－4＜m＜0
⇔－4＜m≤0.
故m的取值范围为(－4,0]．
(2)∵f(x)＜－m＋5⇔m(x2－x＋1)＜6，
∵x2－x＋1＞0，
∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，
记g(x)＝，x∈[1,3]，
记h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上为增函数．
则g(x)在[1,3]上为减函数，
∴[g(x)]min＝g(3)＝，∴m＜.
所以m的取值范围为.
【点评】 本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分别出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.
15．一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为
p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x(元)．
(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？
解析　(1)由题意知，月利润y＝px－R，
即y＝(160－2x)x－(500＋30x)
＝－2x2＋130x－500，
由月利润不少于1 300(元)，得－2x2＋130x－500≥1 300，
即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.
故该厂月产量20～45件时，月利润不少于1 300元．
(2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－22＋，
由题意知，x为正整数．
故当x＝32或33时，y最大为1 612.
所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．
16．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解析　原不等式可化为
ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.
(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1；
(2)当a＞0时，
原不等式化为(x＋1)≥0⇒x≥或x≤－1；
(3)当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
①当＞－1，即a＜－2时，原不等式等价于－1≤x≤；
②当＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；
③当＜－1，即－2＜a＜0时，原不等式等价于≤x≤－1.
综上所述：当a＜－2时，原不等式的解集为；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2＜a＜0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
当a＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪.