【同步辅导】2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《定积分的基本定理》.docx

第2课时　微积分基本定理

1.直观了解并把握微积分基本定理的含义.
2.会利用微积分基本定理求函数的积分.

1664年秋,牛顿开头争辩微积分问题,他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的“圆法”产生了深厚的爱好并试图查找更好的方法,以前,面积总是被看成是无限小不行重量之和,牛顿则从确定面积的变化率入手,通过反微分计算面积.牛顿不仅揭示了面积计算与求切线的互逆关系,而且格外明确的把它作为一般规律揭示出来,从而奠定了微积分普遍算法的基础.
从1684年起,莱布尼兹发表了很多微积分论文.他的第一篇微分学文章《一种求极大值微小值和切线的新方法》是世界上最早公开发表的关于微分学的文献.在这篇论文中,他简明地解释了他的微分学,文中给出了微分的定义和基本的微分法则.

问题1:(1)函数的原函数
假如连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即　　　　　　,通常称F(x)是f(x)的一个原函数. 
(2)微积分基本定理
假如连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F'(x),则有ab f(x)dx=　　　　　,定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式. 
问题2:由微积分定理知求函数f(x)的定积分关键在于找到满足F'(x)=f(x)的一个原函数F(x),完成下表,写出常见函数的原函数.
函数f(x)
C(C是常数)
xn(n≠-1)
1x
sin x
cos x
ax(a>0且a≠1)
ex
原函数
F(x)

　　问题3:若f(x)是偶函数,则-aa f(x)dx=　　　　　;若f(x)是奇函数,则-aa f(x)dx=　　　. 

1.若F'(x)=x2,则F(x)的解析式肯定不正确的是(　　).
A.F(x)=13x3　　　　　 B.F(x)=x3
C.F(x)=13x3+1 D.F(x)=13x3+c(c为常数)
2.-11 |x|dx等于(　　).
A.-11 xdx B.-11 (-x)dx
C.-10 (-x)dx+01 xdx D.-10 xdx+01 (-x)dx
3.已知t>0,若0t (2x-1)dx=6,则t=　　　　. 
4.计算定积分:-11 (x2+sin x)dx.

求简洁函数的定积分
计算下列定积分:
(1)12 1xdx;(2)13 (2x-1x2)dx;(3)-π0 (cos x-ex)dx.

求较简单函数的定积分
计算下列定积分:
(1)12 1x2+2xdx;(2)0π2 sin2x2dx;(3)03 |x2-4|dx.

定积分中的参数问题
求定积分-43 |x+a|dx.

计算下列定积分.
(1)14 (3x2-2x-8)dx;
(2)04π (cos x-sin x)dx;
(3)12 (ex-1x)dx.

计算下列定积分.
(1)0π2 cos2xdx;
(2)-11 (xcos x-5sin x+2)dx;
(3)12 |3-2x|dx.

求定积分:02 |x-a|dx.

1.05 (2x-4)dx=(　　).
A.5　　　 　 B.4　　　 　 C.3　　 　　 D.2
2.若1a (2x+1x)dx=3+ln 2,且a>1,则a的值为(　　).
A.6 B.4 C.3 D.2
3.-43 |x+2|dx=　　　　. 
4.计算下列定积分.
(1)49 x(1+x)dx;(2)12 (ex-2x)dx.

　　(2022年·江西卷)计算定积分-11 (x2+sin x)dx=　　　　. 
　　考题变式(我来改编):

答案
第2课时　微积分基本定理
学问体系梳理
问题1:(1)F'(x)=f(x)　(2)F(b)-F(a)
问题2:Cx　xn+1n+1　ln x　-cos x　sin x　axlna　ex
问题3:20a f(x)dx　0
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1.B　由于(x3)'=3x2,所以F(x)=x3不正确.
2.C　由于x=-x,x<0,x,x≥0,所以选C.
3.3　0t2x-1)dx=(x2-x)0t=t2-t=6,解得t=3(t=-2舍去).
4.解:∵(13x3-cos x)'=x2+sin x,
∴-11x2+sinx)dx=(13x3-cosx)-11=23.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)由于(ln x)'=1x,所以121xdx=lnx12=ln2-ln1=ln 2.
(2)由于(x2)'=2x,(1x)'=-1x2,所以132x-1x2)dx=132dx-131x2dx=x213+1x13=(9-1)+(13-1)=223.
(3)-π0cosx-ex)dx=-π0cosxdx--π0exdx=　　sinx-π0-ex-π0=1eπ-1.
【小结】求简洁函数的定积分关键留意两点:
(1)把握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解;(2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.
　　探究二:【解析】(1)121x2+2xdx=12121x-1x+2)dx=12[lnx12-ln(x+2)12]=12(ln3-ln2)=12ln32.
(2)0π2sin2x2dx=0π21-cosx2dx=120π21-cosx)dx=120π21dx-120π2cosxdx=x20π2-sinx20π2=π-24.
(3)03x2-4|dx=024-x2)dx+23x2-4)dx=(4x-13x3)02+(13x3-4x)23=233.
【小结】当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、正弦、余弦函数、指数、对数函数与常数的和或差.
　　探究三:【解析】(1)当-a≤-4即a≥4时,
原式=-43x+a)dx=(x22+ax)-43=7a-72.
(2)当-4<-a<3即-3<a<4时,
原式=-4-ax+a)]dx+-a3x+a)dx=(-x22-ax)-4-a+(x22+ax)-a3
=a22-4a+8+(a22+3a+92)=a2-a+252.
(3)当-a≥3即a≤-3时,
原式=-43x+a)]dx=(-x22-ax)-43=-7a+72.
综上所述,得-43x+a|dx=7a-72(a≥4),a2-a+252(-3<a<4),-7a+72(a≤-3).
【小结】对于含有确定值符号的被积函数,要去掉确定值符号才能积分.
思维拓展应用
应用一:(1)原式=143x2dx-142dx-148dx=x314-x214-8x14=24.
(2)原式=04πcosxdx-04πsinxdx=sinx4π0+cosx04π=0.
(3)原式=12exdx-121xdx=ex12-lnx12=e2-e-ln2.
　　应用二:(1)0π2cos2xdx=0π21+cos2x2dx
=120π21dx+120π2cos2xdx=12(0π21dx+0π2cos2xdx)=12(x0π2-12sin2x0π2)
=12[(π2-0)-12(sin 2×π2-sin 0)]=π4.
(2)由于y=xcos x-5sin x为奇函数,
所以11xcosx-5sinx+2)dx=-112dx=2x-11=4.
(3)123-2x|dx=1323-2x)dx+3222x-3)dx　　=(3x-x2)132+(x2-3x)322=12.　　应用三:(1)当a≥2时,02x-a|dx=02a-x)dx=(ax-x22) 2 0=2a-2.(2)当0<a<2时,02x-a|dx=0aa-x)dx+a2x-a)dx=(ax-x22) a 0+(x22-ax) 2 a=a2-2a+2.(3)当a≤0时,02x-a|dx=02x-a)dx=(x22-ax) 2 0=2-2a.
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1.A　052x-4)dx=(x2-4x)05=(52-4×5)-(02-4×0)=5.
2.D　由1a2x+1x)dx=(x2+lnx)1a=a2+ln a-1,故有a2+ln a-1=3+ln 2,即a=2.
3.292　原式=-4-2x-2)dx+-23x+2)dx=292.
4.解:(1)∵x(1+x)=x+x,
又∵(23x32)'=x12=x,(12x2)'=x,
∴49 x(1+x)dx=49 xdx+49 xdx
=23x32 9 4 +12x2 9 4 =23×(932-432)+12×(92-42)
=23×(27-8)+12×(81-16)=23×19+12×65=2716.
(2)12 (ex-2x)dx=12 exdx-212 1xdx
=ex 2 1-2ln x 2 1
=(e2-e)-2(ln 2-ln 1)=e2-e-2ln 2.
全新视角拓展
23　-11x2+sinx)dx=(13x3-cosx)-11=13-cos 1-(-13-cos 1)=23.