【同步辅导】2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《合情推理》.docx

第1课时合 情 推 理1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.2.能利用归纳方法进行简洁推理,体会并生疏归纳推理在数学进展中的作用.3.把握类比推理的一般方法,会对一些简洁问题进行类比,得出新的结论,培育同学的类比推理力量.历史上,人们提出过很多永动机的设计方案,有人接受“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不行能制造出永动机.问题1:他们为什么认为不行能制造出永动机?通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不行制造.问题2:归纳推理、类比推理及其特点(1)归纳推理:依据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为.它具有以下几个特点:归纳推理是由部分到整体、由到的推理.利用归纳推理得出的结论不肯定是正确的,但是可以为我们的争辩供应一种方向.(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,依据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为.它具有以下几个特点:类比是从人们已经把握了的事物的属性,推想正在争辩的事物的属性,是以旧有的生疏为基础,类比出新的结果.类比是从一种事物的特殊属性推想另一种事物的特殊属性,是一种从到的推理.类比的结果不肯定正确,但它却有发觉的功能.问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤(1)归纳推理:通过观看个别状况发觉某些相同的性质;从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);假如归纳的个别状况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.归纳推理的一般思维过程:试验、观看概括、推广猜想一般性结论(2)类比推理:找出两类对象之间可以精确表述的相像特征;用一类对象的已知特征去推想另一类对象的特征,从而得出一个猜想;检验猜想.类比推理的一般思维过程:观看、比较联想、类推猜想新结论问题4:合情推理及其意义归纳推理和类比推理都是最常见的推理.合情推理是依据试验与实践的结果、个人的阅历和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推想出某些结果的推理方式.尽管合情推理的结果正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史进展中,合情推理有格外重要的价值,它是科学发觉和制造的基础.1.数列an的前四项为32,1,58,38,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为(). A.an=n+22n+1B.an=n+22nC.an=2n+12nD.an=n+22n-1+12.由数列1,10,100,1000,猜想该数列的第n项可能是().A.10nB.10n-1C.10n+1D.11n3.已知点A(x1,x12)、B(x2,x22)是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论x12+x222(x1+x22)2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函数y=lg x(x0)的图像上的不同两点,则类似地有成立.4.观看圆周上n个点之间所连的弦,发觉两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?归纳推理的应用已知函数f(x)=x1-x,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1fn-1(x)(n1,nN+),则f3(x)的表达式为,猜想fn(x)(nN+)的表达式为.利用类比推理猜想结论在等差数列an中,若a10=0,则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n0),观看:f1(x)=f(x)=xx+2,f2(x)=f(f1(x)=x3x+4,f3(x)=f(f2(x)=x7x+8,f4(x)=f(f3(x)=x15x+16,依据以上事实,由归纳推理可得:当nN+且n2时,fn(x)=f(fn-1(x)=.(2)观看下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,依据上述规律,第五个等式为.下列是用类比法进行猜想的几个结论:由“a=bac=bc”类比得到“abacbc”;由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;由“abcb=ac(a0,b0,c0)”类比得到“lg(ab)lg(cb)=lgalgc(a0,b0,c0)”;由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.其中,正确结论的个数为().A.0B.1C.2D.3在平面上,若两个正三角形的边长之比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四周体的棱长的比为12,求它们的体积之比.1.依据给出的数塔猜想1234569+7等于().19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111123459+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.11111132.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四周体的内切球切于四周体().A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点3.在数列an中,a1=2,an+1=an3an+1(nN+),可以猜想数列的通项an的表达式为.4.如图,在三棱锥S-ABC中,SASB,SBSC,SASC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为1、2、3,三侧面SBC、SAC、SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.(2021年陕西卷)观看下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10照此规律,第n个等式可为.考题变式(我来改编):答案第一章推理与证明第1课时合 情 推 理学问体系梳理问题2:(1)归纳推理个别一般(2)类比推理特殊特殊问题4:合情不肯定基础学习沟通1.B将前四项分别写成2+121,2+222,2+323,2+424,即可作出归纳,通项公式为an=n+22n,故选B.2.B3.lg x1+lg x22lgx1+x22由于线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有lg x1+lg x22lgx1+x22.4.解:设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f(2)=1=212,f(3)=3=322,f(4)=6=432,f(5)=10=542,故f(n)=n(n-1)2.重点难点探究探究一:【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1f1(x)=x1-x1-x1-x=x1-2x,f3(x)=f2f2(x)=x1-2x1-2x1-2x=x1-22x,由此猜想fn(x)=x1-2n-1x(nN+).【答案】f3(x)=x1-22xfn(x)=x1-2n-1x(nN+)【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观看个别状况发觉某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.探究二:【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m,n,p,qN+,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq);等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m,n,p,qN+,且m+n=p+q,则aman=apaq).由此,猜想本题的答案为b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN+).【答案】b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN+)【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.探究三:【解析】23-13=312+31+133-23=322+32+143-33=332+33+1(n+1)3-n3=3n2+3n+1将以上各式分别相加得:(n+1)3-13=3(12+22+32+n2)+3(1+2+3+n)+n,所以12+22+32+n2=13(n+1)3-1-n-31+n2n=16n(n+1)(2n+1).【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是留意本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.思维拓展应用应用一:(1)x(2n-1)x+2n(2)13+23+33+43+53+63=212(1)观看给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,这样fn(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此fn(x)=f(fn-1(x)=x(2n-1)x+2n.(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+(i+1)的平方,所以第五个等式为 13+23+33+43+53+63=212.应用二:B当c0时,类比的结论不正确;类比的结论是同学刚学习三角时经常消灭的错误;类比的结论也是同学在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不肯定正确;类比的结论是正确的.应用三:由类比推理得,若两个正四周体的棱长的比为12,则它们的体积比为18.下面计算验证,假设两个正四周体的棱长分别为1和2,如图,正四周体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AOED于O,则OD=23ED=2332=33,又在RtAOD中,AO=1-OD2=1-(33)2=63,则V正四周体ABCD=13SBCDAO=133463=212.同理,可算得棱长为2的正四周体的体积V正四周体ABCD=22.故V正四周体ABCDV正四周体ABCD=212223=18.基础智能检测1.B2.C正四周体的四个面都是正三角形,其内切球与正四周体的四个面相切于各正三角形的中心.3.an=26n-5(nN+)4.解:在DEF中,由正弦定理得dsinD=esinE=fsinF,于是类比三角形中的正弦定理,在四周体S-ABC中,猜想:S1sin 1=S2sin 2=S3sin 3.全新视角拓展12-22+32-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1n(n+1)2设等式右边的数的确定值构成数列an,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n,以上全部等式相加可得an-a1=2+3+4+n,即an=1+2+3+n=n(n+1)2,再观看各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1n(n+1)2.