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第1课时 合 情 推 理
1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.
2.能利用归纳方法进行简洁推理,体会并生疏归纳推理在数学进展中的作用.
3.把握类比推理的一般方法,会对一些简洁问题进行类比,得出新的结论,培育同学的类比推理力量.
历史上,人们提出过很多永动机的设计方案,有人接受“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不行能制造出永动机.
问题1:他们为什么认为不行能制造出永动机?
通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不行制造.
问题2:归纳推理、类比推理及其特点
(1)归纳推理:依据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为 .
它具有以下几个特点:①归纳推理是由部分到整体、由 到 的推理.
②利用归纳推理得出的结论不肯定是正确的,但是可以为我们的争辩供应一种方向.
(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,依据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为 .
它具有以下几个特点:
①类比是从人们已经把握了的事物的属性,推想正在争辩的事物的属性,是以旧有的生疏为基础,类比出新的结果.
②类比是从一种事物的特殊属性推想另一种事物的特殊属性,是一种从 到 的推理.
③类比的结果不肯定正确,但它却有发觉的功能.
问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤
(1)归纳推理:
①通过观看个别状况发觉某些相同的性质;
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);
假如归纳的个别状况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.
归纳推理的一般思维过程:
试验、观看→概括、推广→猜想一般性结论
(2)类比推理:
①找出两类对象之间可以精确 表述的相像特征;
②用一类对象的已知特征去推想另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
③检验猜想.
类比推理的一般思维过程:
观看、比较→联想、类推→猜想新结论
问题4:合情推理及其意义
归纳推理和类比推理都是最常见的 推理.合情推理是依据试验与实践的结果、个人的阅历和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推想出某些结果的推理方式.
尽管合情推理的结果 正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史进展中,合情推理有格外重要的价值,它是科学发觉和制造的基础.
1.数列{an}的前四项为32,1,58,38,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为( ).
A.an=n+22n+1 B.an=n+22n C.an=2n+12n D.an=n+22n-1+1
2.由数列1,10,100,1000,…猜想该数列的第n项可能是( ).
A.10n B.10n-1 C.10n+1 D.11n
3.已知点A(x1,x12)、B(x2,x22)是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论x12+x222>(x1+x22)2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函数y=lg x(x>0)的图像上的不同两点,则类似地有 成立.
4.观看圆周上n个点之间所连的弦,发觉两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?
归纳推理的应用
已知函数f(x)=x1-x,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1[fn-1(x)](n>1,n∈N+),则f3(x)的表达式为 ,猜想fn(x)(n∈N+)的表达式为 .
利用类比推理猜想结论
在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式 成立.
通过类比方法解题
通过计算可得下列等式:
22-12=2×1+1
32-22=2×2+1
42-32=2×3+1
……
(n+1)2-n2=2×n+1
将以上各式分别相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,
即1+2+3+…+n=n(n+1)2.
类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n2的值.
(1)设函数f(x)=xx+2(x>0),观看:
f1(x)=f(x)=xx+2,
f2(x)=f(f1(x))=x3x+4,
f3(x)=f(f2(x))=x7x+8,
f4(x)=f(f3(x))=x15x+16,
……
依据以上事实,由归纳推理可得:
当n∈N+且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))= .
(2)观看下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,依据上述规律,第五个等式为 .
下列是用类比法进行猜想的几个结论:
①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”;
②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;
③由“abcb=ac(a>0,b>0,c>0)”类比得到“lg(ab)lg(cb)=lgalgc(a>0,b>0,c>0)”;
④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.
其中,正确结论的个数为( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
在平面上,若两个正三角形的边长之比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四周体的棱长的比为1∶2,求它们的体积之比.
1.依据给出的数塔猜想123456×9+7等于( ).
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
A.1111110 B.1111111 C.1111112 D.1111113
2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四周体的内切球切于四周体( ).
A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点
C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点
3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an3an+1(n∈N+),可以猜想数列的通项an的表达式为 .
4.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.
(2021年·陕西卷)观看下列等式:
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
……
照此规律,第n个等式可为 .
考题变式(我来改编):
答案
第一章 推理与证明
第1课时 合 情 推 理
学问体系梳理
问题2:(1)归纳推理 ①个别 一般 (2)类比推理
②特殊 特殊
问题4:合情 不肯定
基础学习沟通
1.B 将前四项分别写成2+121,2+222,2+323,2+424,即可作出归纳,通项公式为an=n+22n,故选B.
2.B
3.lg x1+lg x22<lgx1+x22 由于线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有lg x1+lg x22<lgx1+x22.
4.解:设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f(2)=1=2×12,f(3)=3=3×22,f(4)=6=4×32,f(5)=10=5×42,…,故f(n)=n(n-1)2.
重点难点探究
探究一:【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]=x1-x1-x1-x=x1-2x,f3(x)=f2[f2(x)]=x1-2x1-2x1-2x=x1-22x,…,由此猜想fn(x)=x1-2n-1x(n∈N+).
【答案】f3(x)=x1-22x fn(x)=x1-2n-1x(n∈N+)
【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观看个别状况发觉某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.
探究二:【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq);
等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq).
由此,猜想本题的答案为b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).
【答案】b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+)
【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.
探究三:【解析】23-13=3×12+3×1+1
33-23=3×22+3×2+1
43-33=3×32+3×3+1
……
(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1
将以上各式分别相加得:
(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n)+n,
所以12+22+32+…+n2=13[(n+1)3-1-n-3·1+n2·n]=16n(n+1)(2n+1).
【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是留意本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.
思维拓展应用
应用一:(1)x(2n-1)x+2n (2)13+23+33+43+53+63=212 (1)观看给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,…,这样fn(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此fn(x)=f(fn-1(x))=x(2n-1)x+2n.
(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+…+(i+1)的平方,所以第五个等式为 13+23+33+43+53+63=212.
应用二:B 当c≤0时,①类比的结论不正确;②类比的结论是同学刚学习三角时经常消灭的错误;③类比的结论也是同学在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不肯定正确;④类比的结论是正确的.
应用三:
由类比推理得,若两个正四周体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.
下面计算验证,
假设两个正四周体的棱长分别为1和2,
如图,正四周体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AO⊥ED于O,
则OD=23ED=23×32=33,
又在Rt△AOD中,AO=1-OD2=1-(33)2=63,
则V正四周体ABCD=13S△BCD·AO=13×34×63=212.
同理,可算得棱长为2的正四周体的体积V正四周体A'B'C'D'=22.
故V正四周体ABCD∶V正四周体A'B'C'D'=212∶223=1∶8.
基础智能检测
1.B
2.C 正四周体的四个面都是正三角形,其内切球与正四周体的四个面相切于各正三角形的中心.
3.an=26n-5(n∈N+)
4.解:在△DEF中,由正弦定理得dsinD=esinE=fsinF,于是类比三角形中的正弦定理,在四周体S-ABC中,猜想:S1sin α1=S2sin α2=S3sin α3.
全新视角拓展
12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·n(n+1)2
设等式右边的数的确定值构成数列{an},
∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n,
以上全部等式相加可得an-a1=2+3+4+…+n,即an=1+2+3+…+n=n(n+1)2,再观看各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·n(n+1)2.
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