资源描述
函数的极值
一、教学目标：
1、学问与技能：⑴理解函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区间上的极值。
2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与微小值。
3、情感、态度与价值观：让同学感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数极值的判定方法
教学难点：函数极值的判定方法
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入
1、常见函数的导数公式：
；；；；； ；；
2、法则1
法则2 ,
法则3
3、复合函数的导数：
4、函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，假如在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；假如在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
5、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间
（二）、探究新课
1、极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0四周有定义，假如对x0四周的全部的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2、微小值：一般地，设函数f(x)在x0四周有定义，假如对x0四周的全部的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个微小值，记作y微小值=f(x0)，x0是微小值点
3、极大值与微小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请留意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它四周点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或微小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与微小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于微小值，如下图所示，是极大值点，是微小值点，而>
（ⅳ）函数的极值点确定毁灭在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4、判别f(x0)是极大、微小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且假如在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；假如在两侧满足“左负右正”，则是的微小值点，是微小值
5、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数；(2)求方程=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号，那么f(x)在这个根处无极值。
（三）、典例探析
例1、求的极值
解： 由于，所以。
下面分两种状况争辩：（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.当x变化时， ，的变化状况如下表：
-2
(-2,2)
2
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
微小值
↗
因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有微小值，并且微小值为。函数的图像如图所示。
例2、求y=(x2－1)3+1的极值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
当x变化时，y′，y的变化状况如下表
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
－
0
－
0
+
0
+
↘
无极值
↘
微小值0
↗
无极值
↗
∴当x=0时，y有微小值且y微小值=0
（四）、巩固练习：1．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x
(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=.当x变化时，y′，y的变化状况如下表.
－
0
+
↘
微小值
↗
∴当x=时，y有微小值，且y微小值=－.
(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)，令y′=0，解得x1=－3，x2=3.
当x变化时，y′，y的变化状况如下表.
-3
(-3,3)
3
+
0
－
0
+
↗
极大值54
↘
微小值-54
↗
∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有微小值，且y微小值=－54
（五）、小结：函数的极大、微小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点四周的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不愿定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不行导点可能是极值点 求极值的具体步骤：第一，求导数f′(x).其次，令f′(x)=0求方程的根，第三，列表，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得微小值，假如左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.假如函数在某些点处连续但不行导，也需要考虑这些点是否是极值点
（六）、课后作业：
五、教后反思：
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