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2.3变量间相关关系（练）
一、选择题
1．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )
A．都可以分析出两个变量的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
[答案] C
[解析] 给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不愿定分析出两个变量的关系，更不愿定符合线性相关或有函数关系．
2．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( )
A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上
B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上
C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上
D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上
[答案] B
3．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程＝bx＋a，那么下面说法不正确的是( )
A．直线＝bx＋a必经过点(，)
B．直线＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．直线＝bx＋a的斜率为
D．直线＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上全部直线与这些点的偏差中最小的直线．
[答案] B
[解析] 由a＝－b 知＝－b ＋bx，∴必定过(，)点．
回归直线方程对应的直线是与样本数据距离最小的，但不愿定过原始数据点，只须和这些点很接近即可．
4．下列说法正确的是( )
A．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小
B．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小
C．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小
D．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大
[答案] C
5．如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，去掉哪个点后，剩下的5个点数据的相关系数最大？( )
A．D B．E C．F D．A
[答案] C
[解析] 第F组数据距回归直线最远，所以去掉第F组后剩下的相关系数最大．
6．以下关于线性回归的推断，正确的有________个．( )
①若散点图中全部点都在一条直线四周，则这条直线为回归直线
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点．
③已知回归直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估量值为11.69
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] D
[解析] 能使全部数据点都在它四周的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线＝ax＋b才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入＝0.50x－0.81，解得＝11.69，∴③正确；④正确，∴选D.
7．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发觉对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是( )
A．直线l1和l2有交点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)
C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和l2必定重合
[答案] A
[解析] 由题意，结合回归直线易知只有选项A符合已知条件．
8．下表是某同学记录的某地方在3月1日～3月12日的体检中的发烧人数，并给出了散点图.
日期
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
人数
100
109
115
118
121
131
日期
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
人数
141
152
158
175
186
203
下列说法：
①依据此散点图，可以推断日期与发烧人数具有线性相关关系．
②依据此散点图，可以推断日期与发烧人数具有一次函数关系．
其中正确的是( )
A．② B．①
C．①② D．都不正确
[答案] B
[解析] 由散点图可以推断日期与发烧人数具有正相关关系，但不是函数关系，更不是一次函数关系，由于全部点不在一条直线上，而是在一条直线四周．
二、填空题
9．下列关系：
(1)炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系；
(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
(3)柑橘的产量与气温之间的关系；
(4)森林的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．
其中具有相关关系的是________．
[答案] (1)(3)(4)
[解析] (1)炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程，除了与冶炼时间有关外，还要受冶炼温度等其他因素的影响，故具有相关关系．
(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的，即是一种确定性关系．
(3)柑橘的产量除了受气温影响以外，还要受肥量以及水分等因素的影响，故具有相关关系．
(4)森林的同一种树木，其横断面直径随高度的增加而增加，但是还受树木的疏松及光照等因素的影响，故具有相关关系．
10．(2011·辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
[答案] 0.254
[解析] 由于＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．
11．某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程＝x＋中＝－2，猜想当气温为－4℃时，用电量约为________度．
[答案] 68
[解析] ＝＝10，＝＝40，由于回归方程确定过点(，)，
所以＝＋，则＝－＝40＋2×10＝60.
则＝－2x＋60，当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.
12．改革开放30年以来，我国高等训练事业快速进展，对某省1990～2000年考高校升学百分比按城市、县镇、农村进行统计，将1990～2000年依次编号为0～10，回归分析之后得到每年考入高校的百分比y与年份x的关系为：
城市：＝2.84x＋9.50；
县镇：＝2.32x＋6.67；
农村：＝0.42x＋1.80.
依据以上回归直线方程，城市、县镇、农村三个组中，________的高校入学率增长最快．按同样的增长速度，可猜想2010年，农村考入高校的百分比为________%.
[答案] 城市 10.2
[分析] 增长速度可依据回归直线的斜率来推断，斜率大的增长速度快，斜率小的增长速度慢．
[解析] 通过题目中所供应的回归方程可推断，城市的高校入学率增长最快；2010年农村考入高校的百分比为0.42×20＋1.80＝10.2.
三、解答题
13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)从散点图中推断销售金额与广告费支出成什么样的关系？
[解析] (1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：
(2)从图中可以发觉广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的四周，即x与y成正相关关系．
14．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
已知＝280， ＝45209，iyi＝3487.
(1)求，；
(2)求回归方程．
[解析] (1)＝×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
＝×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝.
(2)＝＝，
∴＝－×6＝，
∴所求回归方程为＝x＋.
15．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x(千件)
2
3
5
6
成本y(万元)
7
8
9
12
(1)画出散点图；
(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程．
[解析] (1)散点图如下：
(2)设成本y与产量x的线性回归方程为＝x＋，
＝＝4，＝＝9.
＝＝＝1.1，
＝－ ＝9－1.1×4＝4.6.
所以，回归方程为＝1.1x＋4.6.
16．(2011·安徽高考)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程猜想该地2022年的粮食需求量．
[解析] (1)由所给数据看出，年需求量与年份这间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预算理如下：
年份－2006
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，简洁算得
＝0，＝3.2.
＝
＝＝6.5，
＝－＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
＝6.5(x－2006)＋260.2.①
(2)利用回归直线方程①，可猜想2022年的粮食需求量为
6．5×(2022－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(吨)．
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