2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《复数代数形式的乘除运算》.docx

第3课时　复数代数形式的乘除运算

1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算律进行复数的四则运算.
2.能依据所给运算的形式选择恰当的方法进行复数的四则运算.

两个多项式可以进行乘除法运算,例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),能像多项式一样进行乘除法运算吗?

问题1:结合多项式乘法运算的特点,说明复数乘法运算有哪些特点?
(1)复数的乘法与多项式的乘法类似,只是在运算过程中把i2换成　　　　,然后实部、虚部分别合并; 
(2)两个复数的积仍是一个复数;
(3)复数的乘法与实数的乘法一样,满足交换律、结合律及安排律;
(4)在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍旧成立.
问题2:什么是共轭复数?
一般地,当两个复数的　　　　　　　　　　　　　　时,这两个复数叫作互为共轭复数. 
问题3:怎样进行复数除法运算?
复数的除法首先是写成分数的形式,再利用两个互为共轭复数的积是一个实数,将分母化为实数,从而化成一个具体的复数.
问题4:复数的四种基本运算法则
(1)加法:(a+bi)+(c+di)=　　　　　　　　; 
(2)减法:(a+bi)-(c+di)=　　　　　　　　; 
(3)乘法:(a+bi)(c+di)=　　　　　　　　; 
(4)除法:(a+bi)÷(c+di)=a+bic+di=　　　　　　(c+di≠0). 

1.i是虚数单位,复数z=2+3i-3+2i的虚部是(　　).
A.0　　　　　　　　　 B.-1　　　　　　　　 C.1　　　　　　　　　 D.2
2.复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于(　　).
A.第一象限 B.其次象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z=　　　　. 
4.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),试求z的实部.

复数代数形式的乘法运算
计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)
(4)(1-i)3.

复数代数形式的除法运算
计算:(1)(1+2i)÷(3-4i);
(2)(1+i)3-(1-i)3(1+i)2-(1-i)2;
(3)(12+32i)4+(1-3i)2(2+2i)2.

复数四则运算的综合应用
已知|z|2+(z+z-)i=3-i2+i(i为虚数单位),试求满足条件的z.

计算:(1)(1-i)2;
(2)(-12+32i)(32+12i)(1+i).

计算:
(1)(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i;
(2)a+bib-ai+a-bib+ai.

若关于x 的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有纯虚数根,求实数t的值和该方程的根.

1.复数z=(2-i)2i(i为虚数单位),则|z|等于(　　).
A.25 B.41 C.5 D.5
2.i是虚数单位,则复数2i1+i+(1+2i)2等于(　　).
A.-2-5i B.5-2i C.5+2i D.-2+5i
3.若复数z满足z(1+i)=2,则复数z=　　　　. 
4.计算:3-4i4+3i+(1-i1+i)2022.

　　(2022年·山东卷)已知a,b∈R,i是虚数单位.若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(　　).
A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i
　　考题变式(我来改编):

答案
第3课时　复数代数形式的乘除运算
学问体系梳理
问题1:(1)-1
问题2:实部相等,虚部互为相反数
问题4:(1)(a+c)+(b+d)i　(2)(a-c)+(b-d)i
(3)(ac-bd)+(ad+bc)i　(4)ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i
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1.B　∵z=2+3ii(2+3i)=1i=-i,∴虚部为-1,故选B.
2.D　z=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i.
3.-2i　设z=bi(b∈R),则(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依题意得4-b2=0,4b-8≠0,解得b=-2.
所以z=-2i.
4.解:(法一)∵i(z+1)=-3+2i,
∴z=-3+2ii-1=-(-3i-2)-1=1+3i,
故z的实部是1.
(法二)令z=a+bi(a、b∈R),
由i(z+1)=-3+2i,
得i[(a+1)+bi]=-3+2i,
-b+(a+1)i=-3+2i,
∴a+1=2,∴a=1.
故z的实部是1.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i
=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i
=(-2+11i+5)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
=(9-12i+33i-44i2)+2i
=53+21i+2i=53+23i.
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)
=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)
=(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2)
=47-39i.
(4)(1-i)3=13-3×12×i+3×1×i2-i3
=1-3i-3-(-i)=-2-2i.
【小结】三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的挨次运算或利用结合律运算,混合运算与实数的运算挨次一样,对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简捷,如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.
　　探究二:【解析】(1)(1+2i)÷(3-4i)=1+2i3-4i
=(1+2i)(3+4i)(3-4i)(3+4i)=-5+10i25
=-15+25i.
(2)(法一)
原式=1+3i(1+i)+i3-[1-3i(1-i)-i3]2i+2i
=4i4i=1.
(法二)原式=
[(1+i)-(1-i)][(1+i)2+(1+i)(1-i)+(1-i)2][(1+i)+(1-i)][(1+i)-(1-i)]
=4i4i=1.
(3)原式=[(12+32i)2]2+-2-23i4(1+i)2
=(-12+32i)2-1+3i4i=-12-32i+14i-34
=(-12-34)+(14-32)i.
【小结】进行复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简洁算式要知道其结果,这样可便利计算,简化运算过程,比如1i=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i,a+bi=i(b-ai),a+bib-ai=i,等等.
运算方法要机敏,有时要奇妙运用相应实数系中的乘法公式,比如第(2)题中的解法一.
　　探究三:【解析】原方程化简为|z|2+(z+z-)i=1-i,
设z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1,2x=-1,∴x=-12,y=±32,∴原方程的解为z=-12±32i.
【小结】对于此类复数方程我们一般是设出复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R),然后将其代入给定方程,利用复数四则运算将其整理,然后利用复数相等的充要条件来求解.

思维拓展应用
应用一:(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.
(2)(-12+32i)(32+12i)(1+i)
=[(-34-34)+(34-14)i](1+i)
=(-32+12i)(1+i)
=(-32-12)+(12-32)i
=-1+32+1-32i.
　　应用二:(1)(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i=1+4-3i+2+4i3+4i
=7+i3+4i=(7+i)(3-4i)32+42=21+4+3i-28i25
=25-25i25=1-i.
(2)a+bib-ai+a-bib+ai=i(b-ai)b-ai+-i(ai+b)b+ai=i-i=0.
　　应用三:设x=ai(a∈R且a≠0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一个纯虚根,将其代入方程可得(ai)2+(t2+3t+tai)i=0,∴-a2-at+(t2+3t)i=0,由复数相等的充要条件可得-a2-at=0,t2+3t=0,∴t=-3,a=3,故t=-3,方程的两个根为0或3i.
基础智能检测
1.C　z=3-4ii=-4-3i,所以|z|=5.
2.D　2i1+i+(1+2i)2=2i(1-i)2+4i-3=5i-2.
3.1-i　z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i.
4.解:原式=-i(4+3i)4+3i+(-i)2022=-i-1.
全新视角拓展
D　先由共轭复数的条件求出a,b的值,再求(a+bi)2的值.由题意知a-i=2-bi,∴a=2,b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.