2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《复数代数形式的加减运算及其几何意义》.docx

第2课时　复数代数形式的加减运算
及其几何意义

1.理解复数代数形式的加减运算规律.
2.复数的加减与向量的加减的关系.

实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.

问题1:依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么
(a+bi)+(c+di)=　　　　　　　　, 
很明显,两个复数的和仍旧是一个确定的复数.
问题2: 复数的加法满足交换律、结合律.
即z1+z2=　　　　,(z1+z2)+z3=　　　　. 
问题3:利用向量加法争辩复数加法的几何意义
向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.
问题4:如何理解复数的减法?
复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.

1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于(　　).
A.第一象限　　　　　 B.其次象限　　　　　
C.第三象限　　　　　 D.第四象限
2.(2-2i)+(3+i)+(4+2i)+(5+12i)-32i(其中i为虚数单位)等于(　　).
A.10 B.10+2i C.14 D.14+2i
3.复数z1=9+3i,z2=-5+2i,则z1-z2=　　　　. 
4.已知复数z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.
(1)求z2;
(2)求z1-2z2.

复数代数形式的加减法运算
(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;
(2)计算:(13+12i)+(2-i)-(43-32i);
(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2022+2021i)+(2021-2022i).

复数代数形式加减运算的几何意义
在复平面内,A、B、C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.

复数加减运算的综合应用
已知实数a>0,b>0,复数z1=a+5i,z2=3-bi,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.

复数z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并说明z1+z2-z3在复平面内对应的点所在的象限.

如图所示,平行四边形OABC的顶点O、A、C分别表示0、3+2i、-2+4i.求:
(1)AO表示的复数;
(2)CA表示的复数;
(3)OB表示的复数.

已知实数a∈R,复数z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若z1+z2为纯虚数,求a的值.

1.复数z1=-3+4i,z2=6-7i,则z1+z2等于(　　).
A.3-3i B.3+3i C.-9+11i D.-9-3i
2.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是(　　).
A.m<23 B.m<1 C.23<m<1 D.m>1
3.复数z1=-2+3i,z2=4+3i,则z1-z2=　　　　. 
4.已知a∈R,复数z1=2+(a+2)i,z2=a2+2a-1+3i,
若z1+z2为实数,求z1-z2.

　　在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求向量AB,AC,BC对应的复数;
(2)推断△ABC的外形.
　　考题变式(我来改编):

答案

第2课时　复数代数形式的加减运算及其几何意义
学问体系梳理
问题1:(a+c)+(b+d)i
问题2:z2+z1　z1+(z2+z3)
基础学习沟通
1.D　(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.
2.C　(2-2i)+(3+i)+(4+2i)+(5+12i)-32i
=2+3+4+5+(-2+1+2+12-32)i=14.
3.14+i　z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.
4.解:(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.
(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,
z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
(2)13+12i+(2-i)-(43-32i)=(13+2-43)+(12-1+32)i=1+i.
(3)(法一)原式=[(1-2)+(3-4)+…+(2011-2022)+2021]+[(-2+3)+(-4+5)+…+(-2022+2021)-2022]i=(-1006+2021)+(1006-2022)i=1007-1008i.
(法二)(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,
(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,
(2011-2022i)+(-2022+2021i)=-1+i,
将以上各式(共1006个)相加可知:
原式=1006(-1+i)+(2021-2022i)=1007-1008i.
【小结】几个复数相加减,运算法则为这些复数的全部实部相加减,全部虚部相加减.
第(3)小题的解法一是从整体上把握,将计算分实部和虚部进行,有机构造特殊数列的和进而求得结果.解法二是从局部入手,抓住了式中相邻两项和的特点,恰当地分组使计算得以简化.
　　探究二:【解析】如图所示:

AC对应复数z3-z1,
AB对应复数z2-z1,
AD对应复数z4-z1.
由复数加减运算的几何意义得AD=AB+AC,
∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),
∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,
∴AD的长为|AD|=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=210.
【小结】利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题供应了可能.
　　探究三:【解析】由题意得a2+25=13,9+b2=5,a>0,b>0,∴a=12,b=4,
∴z1=12+5i,z2=3-4i,∴z1+z2=15+i.
【小结】本题结合了复数的模与复数的加法,表面看着难,其实难度不大.
思维拓展应用
应用一:z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,
z1+z2-z3在复平面内对应的点为(6,4),在第一象限.
　　应用二:(1)由于AO=-OA,所以AO表示的复数为-3-2i.
(2)由于CA=OA-OC,所以CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)由于OB=OA+AB,所以OB表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
　　应用三:z1+z2=(a+2-3ai)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,
∵z1+z2为纯虚数,∴a+8=0,3a+7≠0,∴a=-8.
基础智能检测
1.A
2.A　(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,
∵点(3m-2,m-1)在第三象限,
∴3m-2<0,m-1<0,即m<23.
3.-6　z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6.
4.解:z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i,
∵a∈R,z1+z2为实数,∴a+5=0,∴a=-5,
∴z1=2-3i,z2=14+3i,∴z1-z2=-12-6i.
全新视角拓展
解:(1)AB=OB-OA=(2+i)-1=1+i,
AC=OC-OA=(-1+2i)-1=-2+2i,
BC=OC-OB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,
所以AB,AC,BC对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.
(2)由于|BC|2=10,|AC|2=8,|AB|2=2,
所以有|BC|2=|AC|2+|AB|2,
所以△ABC为直角三角形.