2022届高三数学一轮总复习基础练习：选修4选4-5-1-.docx

选修4－5　不等式选讲
第一节　确定值不等式
时间：45分钟　分值：100分
一、填空题
1．在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．
解析　原不等式即－1≤|x－2|－1≤1
得0≤|x－2|≤2，－2≤x－2≤2，∴0≤x≤4.
答案　[0,4]
2．不等式|x－2|－|x－1|>0的解集为________．
解析　原不等式等价于|x－2|>|x－1|，
则(x－2)2>(x－1)2，解得x<.
答案　
3．(2022·广东卷)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
解析　原不等式等价于
或
或
解得x≥2或x≤－3.
故原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．
答案　{x|x≤－3或x≥2}
4．不等式<3的解集是________．
解析　不等式可化为－3<<3，
即
⇔⇔
⇔x<－1或x>.
答案　(－∞，－1)∪
5．(2022·重庆卷)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析　令f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|，易求得f(x)min＝，依题意得a2＋a＋2≤⇔－1≤a≤.
答案　
6．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．
解析　由确定值的几何意义得|x－5|＋|x＋3|的最小值为8，若|x－5|＋|x＋3|<a无解，应有a≤8.
答案　(－∞，8]
7．若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围为________．
解析　设f(x)＝x＋|x－1|，
则f(x)＝
f(x)的最小值为1.
由于x＋|x－1|≤a有解，
即f(x)≤a有解，所以a≥1.
答案　[1，＋∞)
8．设函数f(x)＝|x－a|－2，若不等式|f(x)|<1的解为x∈(－2,0)∪(2,4)，则实数a＝________.
解析　∵－1<|x－a|－2<1，∴1<|x－a|<3，即1<|x－a|且|x－a|<3.由x－a>1或x－a<－1得x>a＋1或x<a－1；由|x－a|<3得a－3<x<a＋3，而|f(x)|<1的解为x∈(－2,0)∪(2,4)，∴a＝1.
答案　1
9．已知不等式|x－1|<a成立的一个充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围为________．
解析　|x－1|<a得1－a<x<a＋1，
∵|x－1|<a成立的一个充分条件是0<x<4，
∴4≤a＋1且1－a≤0，即a≥3.
答案　[3，＋∞)
二、解答题
10．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集；
(2)∀x∈R，使f(x)≥t2－t，求实数t的取值范围．
解　(1)f(x)＝
当x<－时，－x－3>2⇒x<－5，∴x<－5.
当－≤x<2时，3x－1>2⇒x>1，∴1<x<2.
当x≥2时，x＋3>2⇒x>－1，∴x≥2.
综上所述，不等式f(x)>2的解集为{x|x>1或x<－5}．
(2)易得f(x)min＝－，若∀x∈R都有f(x)≥t2－t恒成立，
则只需f(x)min＝－≥t2－，解得≤t≤5.
11．(2022·辽宁卷)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
解　(1)f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，
故1≤x≤；
当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M＝.
(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，
得162≤4，解得－≤x≤.
因此N＝.
故M∩N＝.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是
x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]
＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤.
12．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；
(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
解　(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为
|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝

其图象如图所示．从图象可知，
当且仅当x∈(0,2)时，y<0.
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈都成立．
故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是.