2022届高三数学一轮总复习基础练习：第七章-立体几何7-4-.docx

第四节　直线、平面平行的判定及其性质
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　)
A．AB∥CD
B．AD∥CB
C．AB与CD相交
D．A，B，C，D四点共面
解析　充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性明显成立．
答案　D
2．一条直线l上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．l∥α
B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l⊂α
解析　l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上全部的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．故选D.
答案　D
3．(2021·石家庄质检一)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若a⊥α且a⊥b，则b∥α
B．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β
C．若a∥α且a∥β，则α∥β
D．若γ∥α且γ∥β，则α∥β
解析　对于A选项，若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A选项不正确；对于B选项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B选项不正确；对于C选项，若a∥α且a∥β，则α∥β或α与β相交，故C选项不正确．排解A、B、C三选项，故选D.
答案　D
4．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
D．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β
解析　对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A项错；对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B项错；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，C项错；易知D项正确．
答案　D
5．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
解析　由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．
答案　C

6．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(　　)
A．不存在
B．有1条
C．有2条
D．有很多条
解析　平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有很多条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，故选D.
答案　D
二、填空题
7．在四周体A—BCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四周体的四个面中与MN平行的是________．

解析　如图所示，取CD的中点E.
则EMMA＝12，ENBN＝12，
所以MN∥AB.
又MN⊄平面ABD，MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
答案　平面ABD与平面ABC

8．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于__________．
解析　∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点．故EF＝AC＝.
答案　
9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.

解析　连接AD1，BC1，由于AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确．
答案　①②④
三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.

证明　(1)如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，
∴HD1∥MC1.
又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.
(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，
则OE綊DC，又D1G綊DC，
∴OE綊D1G，
∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.
又D1O⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D，
∴EG∥平面BB1D1D.
(3)由(1)知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面HB1D1，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H.
11．如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA＝，E为BC的中点，F为侧棱PD上的一动点．

(1)求证：AC⊥BF；
(2)当直线PE∥平面ACF时，求三棱锥F—ACD的体积．

解　(1)证明：连接BD，设AC∩BD＝O，连接PO，则PO⊥平面ABCD.∴AC⊥PO.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.
又BD∩PO＝O，BD，PO⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD.
又BF⊂平面PBD，
∴AC⊥BF.

(2)连接DE，交AC于点G，连接FG.
∵PE∥平面ACF，
∴PE∥FG，∴＝.
又CE＝BC＝AD，
BC∥AD，
∴＝＝.
∴＝，∴＝.
过F作FH⊥DB，垂足为H，则FH∥OP，
∴＝＝，∴FH＝OP.
∵正方形ABCD的边长为2，∴AO＝.
∴OP＝＝2.∴FH＝.
∴三棱锥F—ACD的体积
VF—ACD＝S△ACD·FH＝××22×＝.

1．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
解析　对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②，③都不行以，故选C.
答案　C
2．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.
假如命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的全部序号)．

解析　①a∥γ，b⊂γ，b⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b(线面平行的性质)．
②如图所示，在正方体中，α∩β＝a，b⊂γ，a∥γ，b∥β，而a、b异面，故②错．
③b∥β，b⊂γ，a⊂γ，a⊂β，β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质)．
答案　①③
3．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
解析　过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC、BC、A1C1、B1C1的中点分别为E、F、E1、F1，则直线EF、E1F1、EE1、FF1、E1F、EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．
答案　6
4．(2022·湖南四校联考)如图①，圆O的直径AB＝4，点C，D为圆O上两点，且∠CAB＝45°，∠DAB＝60°，F为弧BC的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面相互垂直，如图②.

(1)求证：OF∥平面ACD；
(2)求二面角C—AD—B的余弦值；
(3)在弧BD上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由．
解　(1)如图，连接CO，

∵∠CAB＝45°，∴CO⊥AB.
又F为弧BC的中点，∴∠FOB＝45°，∴OF∥AC.
∵OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD.
(2)过O作OE⊥AD于点E，连接CE.∵CO⊥AB，平面ABC⊥平面ABD.∴CO⊥平面ABD.
又AD⊂平面ABD，∴CO⊥AD.
∴AD⊥平面CEO，AD⊥CE，
则∠CEO是二面角C—AD—B的平面角．
∵∠OAD＝60°，OA＝2，∴OE＝.
由CO⊥平面ABD，OE⊂平面ABD，得△CEO为直角三角形，
∴CO＝2，∴CE＝，∴cos∠CEO＝＝.
(3)取弧BD的中点G，连接OG，FG，
则∠BOG＝∠BAD＝60°，∴OG∥AD.
∵OF∥平面ACD，
∴平面OFG∥平面ACD，FG∥平面ACD.
因此在弧BD上存在点G，使得FG∥平面ACD，且点G为弧BD的中点．