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其次节 直线与圆的位置关系
时间：45分钟 分值：100分
一、填空题
1．如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝________.
解析 由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC，sin∠ABC＝＝＝＝.
答案
2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点．AD和过C点的切线相互垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO＝________.
解析 ∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD.
由此得，∠ACO＝∠CAD，
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.
∴∠CAO＝40°，∴∠ACO＝40°.
答案 40°
3．(2021·北京模拟)如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P.若PD＝，∠OAP＝30°，则AB＝________，CP＝________.(用a表示)
解析 ∵点P是AB的中点，由垂径定理知OP⊥AB，在Rt△OPA中，BP＝AP＝，∴AB＝2AP＝a，由相交弦定理知BP·AP＝CP·DP，即×＝CP·，解得CP＝.
答案 a
4．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
解析 如图，连接AO，AC，易知∠AOC＝60°，△AOC为正三角形．
∴AC＝OA＝1，且∠ACP＝120°.又由弦切角定理知∠CAP＝∠ABC＝30°，
∴∠APC＝30°.∴CP＝AC＝1，易得PA＝.
答案
5．(2022·湖北卷)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.
解析 由题意知PA＝PB.
PA切⊙O于点A，由切割线定理可得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4.
∴QA＝2，∴PA＝2×2＝4＝PB.
答案 4
6．(2022·湖南卷)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．
解析 如图，由已知AO⊥BC，可得E是BC的中点，即BE＝，故AE＝＝1.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即r2＝()2＋(r－1)2，解得r＝.
答案
7．(2022·重庆卷)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.
解析
如图所示：
依据切割线定理，得PA2＝PB·PC，
又由于PC＝(PB＋BC)，且PA＝6，BC＝9.
所以36＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3.
在△PAC中，依据余弦定理cos∠ACP
＝，即cos∠ACP＝
＝，在△ACB中，依据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝82＋92－2×8×9×＝16，所以AB＝4.
答案 4
8．如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，若DB＝，则DC＝________.
解析 由于四边形ABCD是圆的内接四边形，
所以∠BCD＋∠BAD＝π.
又由于∠BAD＋∠DAE＝π.
所以∠BCD＝∠DAE.
由于∠DAC与∠DBC为圆上同一段圆弧所对的角，
所以∠DAC＝∠DBC.
又由于AD为角∠CAD的角平分线，
所以∠DAC＝∠DAE.
综上
所以△DBC为等腰三角形，则DC＝BD＝.
答案
9．已知⊙O的半径R＝2，P为直径AB延长线上一点，PB＝3，割线PDC交⊙O于D，C两点，E为⊙O上一点，且＝，DE交AB于F，则OF＝________
解析 如图所示，连接OC，OE，PE，
由于＝，所以＝.
因此∠AOE＝∠COE，而∠CDE＝∠COE，
所以∠AOE＝∠CDE，故∠EOF＝∠PDF.
由于∠OFE＝∠DFP，
因此△OEF∽△DPF，所以＝.
因此OF·PF＝EF·DF，
设OF＝x，则PF＝5－x，
所以EF·DF＝x·(5－x)＝－x2＋5x，
由相交弦定理得EF·DF＝AF·BF＝(2＋x)·(2－x)＝－x2＋4，
所以－x2＋5x＝－x2＋4，解得x＝，故OF＝.
答案
二、解答题
10．(2022·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
证明 (1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，
由已知得∠CBE＝∠E，
故∠D＝∠E.
(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直线MN上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点．
故OM⊥AD，即MN⊥AD.
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.
由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．
11．(2021·河北石家庄质检)如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．
(1)求证：B，D，H，F四点共圆；
(2)若AC＝2，AF＝2，求△BDF外接圆的半径．
解 (1)证明：由于AB为圆O的一条直径，所以BF⊥FH.
又DH⊥BD，故B，D，F，H四点在以BH为直径的圆上．
所以，B，D，F，H四点共圆．
(2)由于AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得AF2＝AC·AD，
即(2)2＝2·AD，AD＝4，
所以BD＝(AD－AC)＝1，BF＝BD＝1，
又△AFB∽△ADH，则＝，得DH＝.
连接BH，由(1)可知BH为△BDF外接圆的直径．
BH＝＝.
故△BDF的外接圆半径为.
12．(2022·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明 (1)由于PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.
又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°.
于是∠BDA＝90°，故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，
故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB.
于是∠DAB＝∠CBA.
又由于∠DCB＝∠DAB，
所以∠DCB＝∠CBA，
故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.
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