2021高中数学北师大版必修五导学案：《正弦定理》.docx

第1课时　正 弦 定 理

1.把握正弦定理及其证明过程.
2.依据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.
3.能依据正弦定理及三角变换公式推断三角形的外形.

古埃准时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了争辩尼罗河水运行的规律,预备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),假如古埃及人通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?

问题1:在上面的问题中, △ABC的已知元素有　　　　　　　　和边　　　　. 
若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则BC=　　　　　,CD=　　　　. 
解三角形:　　　　　　　　　　　　　　　　的过程. 
问题2:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即　. 
问题3:正弦定理的拓展:
①a∶b∶c=　　　　　　　　　　　　; 
②设R为△ABC外接圆的半径,则asinA=bsinB=csinC=　　　　. 
问题4:在△ABC中,已知a、b和A时,解的状况如下:

A为锐角
A为钝角
或直角
图形

关系式
①　　　　 
②　　　　 
③　　　　 

解的个数
一解
两解
一解
一解

1.在△ABC中,下列等式总能成立的是(　　).
A.acos C=ccos A　　　　 B.bsin C=csin A
C.absin C=bcsin B　 D.asin C=csin A
2.已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列对三角形解的状况的推断中,正确的是(　　).
A.一解 B.两解 C.无解 D.一解或无解
3.在△ABC中,已知a=52,c=10,A=30°,则B等于　　　　. 
4.在△ABC中,已知b=5,B=π4,tan A=2,求sin A和边a.

利用正弦定理推断三角形的外形
在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试推断△ABC的外形.

已知两角及其中一角的对边,解三角形
在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.

已知两边及其中一边的对角,解三角形
在△ABC中,a=3,b=2,B=45°.求角A,C和边c.

在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC是(　　).
A.直角三角形　 B.等边三角形 C.钝角三角形　 D.等腰直角三角形

在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则A=　　　　,b=　　　　,c=　　　　. 

在△ABC中,已知a=6,c=2,A=60°,求B、C及b的值.

1.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则(　　).
A.B=45°或135°　　　　　 B.B=135°
C.B=45° D.以上答案都不对
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=6,B=120°,则a等于(　　).
A.6　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.2
3.在△ABC中,cos A=12,cos B=32,则△ABC中三边的比值a∶b∶c=　　　　　. 

4.在△ABC中,若B=60°,AC=3,AB=6,求A.

(2021年·北京卷)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=13,则sin B等于(　　).
A.15 B.59 C.53 D.1
考题变式(我来改编):

其次章　解 三 角 形
第1课时　正 弦 定 理
学问体系梳理
问题1:∠ABC、∠BAC　AB　23　3　已知三角形的几个元素求其他元素
问题2:asinA=bsinB=csinC
问题3:sin A∶sin B∶sin C　2R
问题4:a=bsin A　bsin A<a<b　a≥b　a>b
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1.D　依据正弦定理有:asinA=csinC,所以asin C=csin A,故选D.
2.B　由于a,b,A的关系满足bsin A<a<b,故有两解.
3.105°或15°　依据正弦定理得: sin C=csinAa=10sin30°52=22,∴C=45°或135°,故B=105°或15°.
4.解:由于△ABC中,tan A=2,所以A是锐角,
又sinAcosA=2,sin2A+cos2A=1,
联立解得sin A=255,再由正弦定理得asinA=bsinB,代入数据解得a=210.
重点难点探究
探究一:【解析】在△ABC中,依据正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R,
∵sin2A=sin2B+sin2C,∴(a2R)2=(b2R)2+(c2R)2,
即a2=b2+c2,∴A=90°,∴B+C=180°-A=90°.
由sin A=2sin Bcos C,得sin 90°=2sin Bcos(90°-B),
∴sin2B=12.
∵B是锐角,∴sin B=22,∴B=45°,C=45°.
∴△ABC是等腰直角三角形.
【小结】(1)推断三角形的外形,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手.从条件动身,利用正弦定理进行代换、转化,求出边与边的关系或求出角与角的关系,从而作出精确     推断.
(2)推断三角形的外形,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等,要特殊留意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区分.
探究二:【解析】∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.
由asinA=csinC得a=csinAsinC=10sin45°sin30°=102.
由bsinB=csinC得b=csinBsinC=10sin105°sin30°=20sin 75°,
∵sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=2+64,∴b=20×2+64=52+56.
【小结】解三角形时,假如已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.
探究三:【解析】由正弦定理得asinA=bsinB,3sinA=2sin45°,∴sin A=32,∴A=60°,C=180°-45°-60°=75°,
由正弦定理得:c=bsinCsinB=6+22.
[问题]本题中依据sin A=32得出的角A肯定是60°吗?
[结论]角A不肯定是60°,∵a>b,∴角A还可能是120°.
于是正确的解答如下:
由正弦定理得asinA=bsinB,3sinA=2sin45°,
∴sin A=32.
∵a>b,∴A=60°或A=120°.
当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c=bsinCsinB=6+22;
当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c=bsinCsinB=6-22.
【小结】已知三角形的两个角求第三个角时留意三角形内角和定理的运用,求边时可用正弦定理的变式,把要求的边用已知条件表示出来再代入计算.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先运用正弦定理求出另一边对角的正弦值,再利用三角形中大边对大角看能否推断所求的这个角是锐角,当已知的角为大边对的角时,则能推断另一边所对的角为锐角;当已知小边对的角时,则不能推断.
思维拓展应用
应用一:B　由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径),∴sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,即tan A=tan B=tan C,∴A=B=C.
应用二:45°　46　4(3+1)　A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.
由正弦定理bsinB=asinA,得b=asinBsinA=8×sin60°sin45°=46,由asinA=csinC,得c=asinCsinA=8×sin75°sin45°=8×2+6422=4(3+1).
应用三:由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得sin C=csinAa=2sin60°6=22.
∵c<a,∴C<A=60°,∴C=45°,
∴B=180°-A-C=180°-60°-45°=75°,
b=asinBsinA=6sin75°sin60°=22sin(30°+45°)=3+1.
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1.C　由正弦定理得:sin B=22,∵a>b,∴B=45°.
2.D　由正弦定理6sin120°=2sinC⇒sin C=12,于是C=30°⇒A=30°⇒a=c=2.
3.3∶1∶2　依据cos A=12,cos B=32可得:A=60°,B=30°,所以C=90°,故a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶1∶2.
4.解:由正弦定理BCsinA=ACsinB=ABsinC,
∵AC=3,AB=6,B=60°,
∴3sin60°=6sinC,解得sin C=22.
又AB<AC,∴C=45°,
∴A=180°-45°-60°=75°.
全新视角拓展
B　由asinA=bsinB得313=5sinB,从而得出sin B=59.
思维导图构建
a+b+csinA+sinB+sinC