2021高中数学北师大版必修五导学案：《正弦定理、余弦定理的综合应用》.docx

第3课时　正弦定理、余弦定理的综合应用

1.把握正弦定理、余弦定理的内容.
2.能依据给出的已知条件,选择恰当的公式解三角形.
3.把握三角形边角互化思想,进一步理解正弦定理、余弦定理的作用.

2021年,叙利亚内战期间,为了精确     分析战场形式,美军派出侦查分队由分别位于叙利亚的两处地点C和D进行观测,测得叙利亚的两支精锐部队分别位于A和B处,美军测得的数据包含CD的长度,∠ADB,∠BDC,∠DCA,∠ACB大小,你能用学过的数学学问计算叙利亚精锐部队之间的距离吗?

问题1:若要用解三角形的学问求AB的长度,则在求解中要用　　　　定理和　　　　定理. 
问题2:正、余弦定理的数学公式表述为:正弦定理　　　　　　　　;余弦定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.余弦定理的推论用公式表示为:cos A=　　　　　　　　;cos B=　　　　　　　;cos C=　　　　　　　　. 
问题3:在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:
(1)已知　　　　　　　　,求其他边或角; 
(2)已知　　　　　　　　,求其他边或角. 
状况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应留意区分.
问题4:应用余弦定理及其推论可解决三类三角形问题:
(1)已知　　　　　　　,求其他三个角. 
(2)已知　　　　　　　　,求第三边和其他两个角. 
(3)已知　　　　　　　　　　　,求第三边. 

1.在△ABC中,已知sin2B-sin2C-sin2A=3sin Asin C,则角B的大小为(　　).
A.150°　　　 B.30°　　　　 C.120°　　　 D.60°
2.若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B等于(　　).
A.154 B.34 C.31516 D.1116
3.在△ABC中,A=120°,c=5,a=7,则b=　　　　. 
4.在锐角三角形中,b=4,c=21,且BC边上的高h=23.
(1)求角C;
(2)求边长a.

利用正弦定理或余弦定理求解三角形的边长
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=35,cos B=513,b=3,则c=　　　　. 

利用正弦定理或余弦定理求解三角形的角度
在△ABC中,已知a=2,b=22,C=15°,求A的大小.

正、余弦定理的综合应用
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2C=-14,且a2+b2<c2.
(1)求sin C的值;(2)当a=2,2sin A=sin C时,求b及c的长.

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+csin C-2asin C=bsin B.
(1)求B;(2)若A=75°,b=2,求a,c.

在△ABC中,BC=7,AC=3,cos C=1114,则A的大小为(　　).
A.2π3　　　　 B.5π6　　　　 C.3π4　　　　 D.π3

在△ABC中,已知角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2c2=(2a-b)a+(2b-a)b.
(1)求角C的大小;
(2)求2cos A+2cos B的最大值.

1.在△ABC中,已知a=2,b=2,B=45°,则角A等于(　　).
A.30°或150°　　　　 B.60°或120°
C.60° D.30°
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=2a,则(　　).
A.a>b B.a<b
C.a=b D.a与b的大小关系不能确定
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B等于　　　　. 

4.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且满足(sin A+sin B)2-sin2C=3sin A·sin B,求证:A+B=120°.

(2021年·安徽卷)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=　　　　. 
考题变式(我来改编):

第3课时　正弦定理、余弦定理的综合应用
学问体系梳理
问题1:正弦　余弦
问题2:asinA=bsinB=csinC　b2=c2+a2-2accos B、c2=a2+b2-2abcos C、a2=b2+c2-2bccos A　b2+c2-a22bc　c2+a2-b22ac　a2+b2-c22ab
问题3:(1)两角及任一边　(2)两边及一边的对角
问题4:(1)三角形的三边　(2)两边和夹角　(3)两边及其中一边的对角
基础学习沟通
1.A　由正弦定理可得b2-c2-a2=3ac,由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=-32,故角B为150°.
2.D　∵6sin A=4sin B=3sin C,∴6a=4b=3c.不妨令a=1,则b=32,c=2,由余弦定理可知cos B=12+22-(32)22×1×2=1116.
3.3　依据余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A,∴72=b2+52-2·b·5cos 120°,∴b2+5b-24=0,∴b=3或b=-8(舍去).
4.解:

(1)如图,作AD⊥BC交BC于点D,
则sin C=ADAC=32,则C=60°.
(2)由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C,
则21=a2+16-2×a×4×12,
即a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1(舍去),
所以a=5.
重点难点探究
探究一:【解析】由已知条件可得sin A=45,sin B=1213,
而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=5665,
依据正弦定理bsinB=csinC得c=145.
【答案】145
【小结】正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会机敏运用.
探究二:【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C
=22+(22)2-2×2×22cos 15°
=4+8-82×6+24
=8-43,
∴c=6-2.
而在求A时,可以应用正弦定理或余弦定理.
(法一)由正弦定理,得
sin A=asinCc=2sin15°6-2=2×6-246-2=12.
∵b>a,∴B>A.又∵0°<A<180°,
∴A必为锐角,∴A=30°.
(法二)由余弦定理,得
cos A=b2+c2-a22bc=(22)2+(6-2)2-222×22×(6-2)=32.
∴A=30°.
【小结】已知三角形的两边及其夹角解三角形时,应先利用余弦定理求出第三边,再求其余角.其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求解;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.
若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题,由于在(0°,180°)上,余弦值所对应的角是唯一的,所以用余弦定理求解较好.
探究三:【解析】(1)由于cos 2C=1-2sin2C=-14,且0<C<π,所以sin C=104.
(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理asinA=csinC,得c=4.由cos 2C=2cos2C-1=-14及0<C<π,得cos C=±64.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得b2±6b-12=0,解得b=6或26,
所以b=6,c=4或b=26,c=4.
[问题]依据题目中的条件,cos C的值有两个吗?
[结论]上述求解中没有使用条件a2+b2<c2,故导致cos C的值消灭增解,从而在计算b的值时出错.
(1)由于cos 2C=1-2sin2C=-14,且0<C<π,所以sin C=104.
(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理asinA=csinC,得c=4.由cos 2C=2cos2C-1=-14及0<C<π得cos C=±64,又a2+b2<c2,所以cos C<0,故cos C=-64.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得b2+6b-12=0,解得b=6,
所以b=6,c=4.
【小结】应娴熟把握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应留意用哪一个定理更便利、简捷.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常依据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行推断.
思维拓展应用
应用一:(1)由正弦定理得a2+c2-2ac=b2.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
故cos B=22,因此B=45°.
(2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=2+64.
故a=b×sinAsinB=2+62=1+3,c=b×sinCsinB=2×sin60°sin45°=6.
应用二:A　由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=9+49-2×3×7×1114=25,∴AB=5,∴cos A=AB2+AC2-BC22AB·AC=52+32-722×5×3=-12,又A∈(0,π),因此A=2π3.
应用三:(1)原式2c2=(2a-b)a+(2b-a)b可以化简为c2=a2+b2-ab,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=12,∴C=60°.
(2)由(1)知C=60°,又A+B+C=180°,∴A+B=120°,
∴2cos A+2cos B=2[cos A+cos(120°-A)]=2(32sin A+12cos A)=2sin(A+30°),∴当A+30°=90°,即A=60°时,2cos A+2cos B取得最大值2.
基础智能检测
1.D　由正弦定理asinA=bsinB得,sin A=absin B=22sin 45°=12,又由于b>a,故A=30°.
2.A　cos C<0⇒a2+b2<c2,即a2+b2<2a2,所以b<a.
3.π3或2π3　由(a2+c2-b2)tan B=3ac得a2+c2-b2ac·tan B=3,再由余弦定理cos B=a2+c2-b22ac得2cos B·tan B=3,即sin B=32,∴角B的值为π3或2π3.
4.解:∵(sin A+sin B)2-sin2C=3sin A·sin B,
∴由正弦定理得(a+b)2-c2=3ab⇒a2+b2-c2=ab⇒
a2+b2-c2ab=1⇒cos C=a2+b2-c22ab=12,
∵0°<C<180°,∴C=60°,
∴A+B=180°-C=180°-60°=120°.
全新视角拓展
2π3　依据正弦定理可将3sin A=5sin B化为3a=5b,所以a=53b,代入b+c=2a可得c=73b,然后结合余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=-12,所以角C=2π3.
思维导图构建
asinBsinA　csinBsinC　2Rsin B　asinCsinA　bsinCsinB　2Rsin C