《导学案》2021版高中数学(人教A版必修5)教师用书：1.3正弦定理、余弦定理的综合应用-讲义-.docx

第3课时正弦定理、余弦定理的综合应用1.把握正弦定理、余弦定理的内容.2.能依据给出的已知条件,选择恰当的公式解三角形.3.把握三角形边角互化思想,进一步理解正弦定理、余弦定理的作用.重点:使用正弦定理、余弦定理时边角的合理转化.难点:依据条件及问题,能合理地选择正弦定理或余弦定理进行求解.2021年,叙利亚内战期间,为了精确分析战场形式,美军派出侦查分队由分别位于叙利亚的两处地点C和D进行观测,测得叙利亚的两支精锐部队分别位于A和B处,美军测得的数据包含CD的长度,ADB,BDC,DCA,ACB大小,你能用学过的数学学问计算叙利亚精锐部队之间的距离吗?问题1:若要用解三角形的学问求AB的长度,则在求解中要用正弦定理和余弦定理.问题2:正、余弦定理的数学公式表述为:正弦定理=;余弦定理a2=b2+c2-2bccos A、b2=c2+a2-2cacos B、c2=a2+b2-2abcos C.余弦定理的推论用公式表示为:cos A=;cos B=;cos C=.问题3:在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其他边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其他边或角.状况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应留意区分.问题4:应用余弦定理及其推论可解决三类三角形问题:(1)已知三角形的三边,求其他三个角.(2)已知两边和夹角,求第三边和其他两个角.(3)已知两边及其中一边的对角,求第三边.转化化归思想是解决数学问题的基本思想方法,在解决数学问题时,人们经常是将需要解决的问题,通过某种转化手段,归结为另一个相对较简洁解决的或者已经有解决模式的问题,以求得问题的解答.中学数学处处都体现出化归的思想,如化繁为简、化难为易、化未知为已知、化高次为低次等.我们在解三角形中进行的边角相互转化,体现的就是转化化归思想.1.在ABC中,已知sin2B-sin2C-sin2A=sin Asin C,则角B的大小为().A.150B.30C.120D.60【解析】由正弦定理可得b2-c2-a2=ac,由余弦定理可得cos B=-,故角B为150.【答案】A2.若ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B等于().A.B.C.D.【解析】6sin A=4sin B=3sin C,6a=4b=3c.不妨令a=1,则b=,c=2,由余弦定理可知cos B=.【答案】D3.在ABC中,A=120,c=5,a=7,则b=.【解析】依据余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A,72=b2+52-2b5cos 120,b2+5b-24=0,b=3或b=-8(舍去).【答案】34.在锐角三角形中,b=4,c=,且BC边上的高h=2.(1)求角C;(2)求边长a.【解析】(1)如图,作ADBC交BC于点D,则sin C=,则C=60.(2)由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C,则21=a2+16-2a4,即a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1(舍去),所以a=5.利用正弦定理或余弦定理求解三角形的边长设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c=.【方法指导】利用正弦定理及三角形的内角和定理求解.【解析】由已知条件可得sin A=,sin B=,而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,依据正弦定理=得c=.【答案】【小结】正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会机敏运用.利用正弦定理或余弦定理求解三角形的角度在ABC中,已知a=2,b=2,C=15,求A的大小.【方法指导】本题考查余弦定理与正弦定理.已知ABC的两边及其夹角,应先用余弦定理求出c,再利用正弦定理或余弦定理求A.【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=22+(2)2-222cos 15=4+8-8=8-4,c=-.而在求A时,可以应用正弦定理或余弦定理.(法一)由正弦定理,得sin A=.ba,BA.又0A180,A必为锐角,A=30.(法二)由余弦定理,得cos A=.A=30.【小结】已知三角形的两边及其夹角解三角形时,应先利用余弦定理求出第三边,再求其余角.其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求解;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题,由于在(0,180)上,余弦值所对应的角是唯一的,所以用余弦定理求解较好.正、余弦定理的综合应用在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2C=-,且a2+b2c2.(1)求sin C的值;(2)当a=2,2sin A=sin C时,求b及c的长.【方法指导】(1)利用二倍角公式以及cos 2C=-可以计算出sin C的值;(2)利用sin C以及正弦定理可以求解出边c的长,再利用余弦定理可以求解出b的值.【解析】(1)由于cos 2C=1-2sin2C=-,且0C,所以sin C=.(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理=,得c=4.由cos 2C=2cos2C-1=-及0C,得cos C=.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得b2b-12=0,解得b=或2,所以或问题依据题目中的条件,cos C的值有两个吗?结论上述求解中没有使用条件a2+b2c2,故导致cos C的值毁灭增解,从而在计算b的值时出错.(1)由于cos 2C=1-2sin2C=-,且0C,所以sin C=.(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理=,得c=4.由cos 2C=2cos2C-1=-及0C得cos C=,又a2+b2c2,所以cos Ca,故A=30.【答案】D2.在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120,c=a,则().A.abB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定【解析】cos C0a2+b2c2,即a2+b22a2,所以ba.【答案】A3.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B等于.【解析】由(a2+c2-b2)tan B=ac得tan B=,再由余弦定理cos B=得2cos Btan B=,即sin B=,角B的值为或.【答案】或4.已知A,B,C是ABC的三个内角,且满足(sin A+sin B)2-sin2C=3sin Asin B,求证:A+B=120.【解析】(sin A+sin B)2-sin2C=3sin Asin B,由正弦定理得(a+b)2-c2=3aba2+b2-c2=ab=1cos C=,0C180,C=60,A+B=180-C=180-60=120.(2021年安徽卷)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.【解析】依据正弦定理可将3sin A=5sin B化为3a=5b,所以a=b,代入b+c=2a可得c=b,然后结合余弦定理可得cos C=-,所以角C=.【答案】