资源描述
第3课时 正弦定理、余弦定理的综合应用
1.把握正弦定理、余弦定理的内容.
2.能依据给出的已知条件,选择恰当的公式解三角形.
3.把握三角形边角互化思想,进一步理解正弦定理、余弦定理的作用.
重点:使用正弦定理、余弦定理时边角的合理转化.
难点:依据条件及问题,能合理地选择正弦定理或余弦定理进行求解.
2021年,叙利亚内战期间,为了精确 分析战场形式,美军派出侦查分队由分别位于叙利亚的两处地点C和D进行观测,测得叙利亚的两支精锐部队分别位于A和B处,美军测得的数据包含CD的长度,∠ADB,∠BDC,∠DCA,∠ACB大小,你能用学过的数学学问计算叙利亚精锐部队之间的距离吗?
问题1:若要用解三角形的学问求AB的长度,则在求解中要用 正弦 定理和 余弦 定理.
问题2:正、余弦定理的数学公式表述为:正弦定理 == ;余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A、b2=c2+a2-2cacos B、c2=a2+b2-2abcos C .余弦定理的推论用公式表示为:cos A= ;cos B= ;cos C= .
问题3:在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:
(1)已知 两角及任一边 ,求其他边或角;
(2)已知 两边及一边的对角 ,求其他边或角.
状况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应留意区分.
问题4:应用余弦定理及其推论可解决三类三角形问题:
(1)已知 三角形的三边 ,求其他三个角.
(2)已知 两边和夹角 ,求第三边和其他两个角.
(3)已知 两边及其中一边的对角 ,求第三边.
转化化归思想是解决数学问题的基本思想方法,在解决数学问题时,人们经常是将需要解决的问题,通过某种转化手段,归结为另一个相对较简洁解决的或者已经有解决模式的问题,以求得问题的解答.中学数学处处都体现出化归的思想,如化繁为简、化难为易、化未知为已知、化高次为低次等.我们在解三角形中进行的边角相互转化,体现的就是转化化归思想.
1.在△ABC中,已知sin2B-sin2C-sin2A=sin Asin C,则角B的大小为( ).
A.150° B.30° C.120° D.60°
【解析】由正弦定理可得b2-c2-a2=ac,由余弦定理可得cos B==-,故角B为150°.
【答案】A
2.若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B等于( ).
A. B. C. D.
【解析】∵6sin A=4sin B=3sin C,∴6a=4b=3c.
不妨令a=1,则b=,c=2,由余弦定理可知cos B==.
【答案】D
3.在△ABC中,A=120°,c=5,a=7,则b= .
【解析】依据余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A,∴72=b2+52-2·b·5cos 120°,∴b2+5b-24=0,∴b=3或b=-8(舍去).
【答案】3
4.在锐角三角形中,b=4,c=,且BC边上的高h=2.
(1)求角C;
(2)求边长a.
【解析】(1)如图,作AD⊥BC交BC于点D,
则sin C==,则C=60°.
(2)由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C,
则21=a2+16-2×a×4×,即a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1(舍去),所以a=5.
利用正弦定理或余弦定理求解三角形的边长
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c= .
【方法指导】利用正弦定理及三角形的内角和定理求解.
【解析】由已知条件可得sin A=,sin B=,
而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,
依据正弦定理=得c=.
【答案】
【小结】正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会机敏运用.
利用正弦定理或余弦定理求解三角形的角度
在△ABC中,已知a=2,b=2,C=15°,求A的大小.
【方法指导】本题考查余弦定理与正弦定理.已知△ABC的两边及其夹角,应先用余弦定理求出c,再利用正弦定理或余弦定理求A.
【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C
=22+(2)2-2×2×2cos 15°
=4+8-8×
=8-4,
∴c=-.
而在求A时,可以应用正弦定理或余弦定理.
(法一)由正弦定理,得
sin A====.
∵b>a,∴B>A.又∵0°<A<180°,
∴A必为锐角,∴A=30°.
(法二)由余弦定理,得
cos A===.
∴A=30°.
【小结】已知三角形的两边及其夹角解三角形时,应先利用余弦定理求出第三边,再求其余角.其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求解;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.
若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题,由于在(0°,180°)上,余弦值所对应的角是唯一的,所以用余弦定理求解较好.
正、余弦定理的综合应用
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2C=-,且a2+b2<c2.
(1)求sin C的值;(2)当a=2,2sin A=sin C时,求b及c的长.
【方法指导】(1)利用二倍角公式以及cos 2C=-可以计算出sin C的值;(2)利用sin C以及正弦定理可以求解出边c的长,再利用余弦定理可以求解出b的值.
【解析】(1)由于cos 2C=1-2sin2C=-,且0<C<π,所以sin C=.
(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理=,得c=4.由cos 2C=2cos2C-1=-及0<C<π,得cos C=±.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得b2±b-12=0,解得b=或2,
所以或
[问题]依据题目中的条件,cos C的值有两个吗?
[结论]上述求解中没有使用条件a2+b2<c2,故导致cos C的值毁灭增解,从而在计算b的值时出错.
(1)由于cos 2C=1-2sin2C=-,且0<C<π,所以sin C=.
(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理=,得c=4.由cos 2C=2cos2C-1=-及0<C<π得cos C=±,又a2+b2<c2,所以cos C<0,故cos C=-.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得b2+b-12=0,解得b=,
所以
【小结】应娴熟把握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应留意用哪一个定理更便利、简捷.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常依据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行推断.
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+csin C-asin C=bsin B.
(1)求B;(2)若A=75°,b=2,求a,c.
【解析】(1)由正弦定理得a2+c2-ac=b2.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
故cos B=,因此B=45°.
(2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=.
故a=b×==1+,c=b×=2×=.
在△ABC中,BC=7,AC=3,cos C=,则A的大小为( ).
A. B. C. D.
【解析】由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=9+49-2×3×7×=25,∴AB=5,∴cos A===-,又A∈(0,π),因此A=.
【答案】A
在△ABC中,已知角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2c2=(2a-b)a+(2b-a)b.
(1)求角C的大小;
(2)求2cos A+2cos B的最大值.
【解析】(1)原式2c2=(2a-b)a+(2b-a)b可以化简为c2=a2+b2-ab,由余弦定理得cos C==,∴C=60°.
(2)由(1)知C=60°,又A+B+C=180°,∴A+B=120°,
∴2cos A+2cos B=2[cos A+cos(120°-A)]=2(sin A+cos A)=2sin(A+30°),∴当A+30°=90°,即A=60°时,2cos A+2cos B取得最大值2.
1.在△ABC中,已知a=,b=2,B=45°,则角A等于( ).
A.30°或150° B.60°或120°
C.60° D.30°
【解析】由正弦定理=得,sin A=sin B=sin 45°=,又由于b>a,故A=30°.
【答案】D
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则( ).
A.a>b B.a<b
C.a=b D.a与b的大小关系不能确定
【解析】cos C<0⇒a2+b2<c2,即a2+b2<2a2,所以b<a.
【答案】A
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B等于 .
【解析】由(a2+c2-b2)tan B=ac得·tan B=,再由余弦定理cos B=得2cos B·tan B=,即sin B=,∴角B的值为或.
【答案】或
4.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且满足(sin A+sin B)2-sin2C=3sin A·sin B,求证:A+B=120°.
【解析】∵(sin A+sin B)2-sin2C=3sin A·sin B,
∴由正弦定理得(a+b)2-c2=3ab⇒a2+b2-c2=ab⇒
=1⇒cos C==,
∵0°<C<180°,∴C=60°,
∴A+B=180°-C=180°-60°=120°.
(2021年·安徽卷)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= .
【解析】依据正弦定理可将3sin A=5sin B化为3a=5b,所以a=b,代入b+c=2a可得c=b,然后结合余弦定理可得cos C==-,所以角C=.
【答案】
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
