《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.5等差数列的综合应用-讲义.docx

第5课时等差数列的综合应用1.理解并把握等差数列的有关性质.2.能利用等差数列的性质,结合通项公式、前n项和公式解决数列的综合问题.重点:等差数列的有关性质.难点:对性质的机敏应用.等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法,其原理是依据等差数列的定义知a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,你会发觉和式中的两项的下标和都是n+1,在等差数列中还有很多类似的结论和性质.问题1:(1)若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq;(2)若m+n=2k(m,n,kN*),则am+an与ak的大小关系为am+an=2ak;(3)等差数列的通项公式的变形为an=am+(n-m)d,d=.问题2:(1)在等差数列an中,下标成等差的项组成的新数列仍为等差数列;(2)若an,bn为项数相同的等差数列,前n项和分别为An和Bn,则man+kbn仍为等差数列(其中m,k均为常数),且=;(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,也成等差数列,且公差为k2d.问题3:已知等差数列an,公差为d,前n项和为Sn.若项数为偶数,设为2n(n2),则:(1)S2n=n(an+an+1);(即等于中间两项和的n倍)(2)设S偶=a2+a4+a2n,S奇=a1+a3+a2n-1,则S偶-S奇=(a2-a1)+(a4-a3)+(a2n-a2n-1)=nd;(3)=.(即等于数列an的中间两项之比)问题4:an为等差数列,d为其公差,Sn为其前n项和.若项数为奇数,设为2n+1(n2),则:(1)S2n+1=(2n+1)an+1;(即等于中间项的2n+1倍)(2)设S奇=a1+a3+a2n+1,S偶=a2+a4+a2n,则S奇-S偶=a1+(a3-a2)+(a5-a4)+(a2n+1-a2n)=a1+nd=an+1;(即等于中间项)(3)=.(即等于项数之比)九章算法中有一题:“今有竹九节,下三节容四升,上四节容三升,问中间二节欲均奢,各多少”相当于已知等差数列项数为n,a1+a2+as=A,at+at+1+an=B(s0,且a1+a3+a5=-12,a1a3a5=80,则an的通项公式an=.【解析】由a1+a3+a5=-12,得3a3=-12,a3=-4,由a1a3a5=80,得(-4-2d)(-4)(-4+2d)=80,即d2=9,又d0,解得d=3,an=a3+(n-3)d=-4+3(n-3)=3n-13.【答案】3n-134.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且=,求使得为整数的正整数n.【解析】=7+.即当n=1,2,3,5,11时可满足题意.(2022年江西卷)设数列an,bn都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=.【解析】设数列an,bn的公差分别为d1,d2,由于a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+27=35.【答案】35