《导学案》2021版高中数学(人教A版必修5)教师用书：1.6解三角形的综合应用-讲义-.docx

第6课时　解三角形的综合应用

1.结合三角函数性质,深化理解正、余弦定理.
2.初步解决正、余弦定理与平面对量、三角恒等变换相结合的综合性问题.

重点:正、余弦定理的机敏运用.
难点:各学问点间的交汇梳理与分析.

我们学完了正弦定理、余弦定理之后,又对正、余弦定理的应用举例做了了解,如仰角、俯角、方位角这些涉及角度的问题, 我们还会利用正、余弦定理处理与距离、高度有关的问题,其实这些问题都离不开解三角形,这节课我们就一起来争辩正、余弦定理在解三角形中的综合应用吧!

问题1:△ABC中,正弦定理用数学公式可表示为: ==　;余弦定理用公式可表示为a2=　b2+c2-2bccos A　,b2=　c2+a2-2cacos B　,c2=　a2+b2-2abcos C　. 
问题2:依据正弦定理知,a∶b∶c=　sin A∶sin B∶sin C　;余弦定理的推论可表示为cos A= 　,cos B= 　,cos C= 　. 
问题3:两角和与差的余弦公式:cos(α±β)=　cos αcos β∓sin αsin β　;两角和与差的正弦公式:sin(α±β)=　sin αcos β±cos αsin β　;二倍角公式:sin 2α=　2sin αcos α　,cos 2α=　cos2α-sin2α　=　2cos2α-1　=　1-2sin2α　. 
问题4:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则a·b=　x1x2+y1y2　=　|a||b|cos θ　. 
此外,计算向量的数量积时,还可以先依据向量加减法运算的几何法则进行转化,把题目中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向量定理、平面对量基本定理以及解三角形等学问.

早期的三角学是天文学的一个组成部分,真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的,是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯.他生于哥尼斯堡,热心出版古希腊和阿拉伯著作,因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解.1464年,他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》.在书中,他把以往各种书上的三角学学问系统地综合了起来,使三角学开头成为数学上的一个分支.

1.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且a=,b=3,c=2,则·等于(　　).
A.10　　　B.12　　　C.10　　D.12
【解析】由余弦定理得:cos A===,所以·=||||cos A=12.
【答案】B
2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的外形为(　　).
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
【解析】∵bcos C+ccos B=asin A,由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,sin A=sin2A,∴sin A=1或0(舍去),∴A=,∴选A.
【答案】A
3.在△ABC中,若b=2,c=1,tan B=2,则a=　　　　. 
【解析】由tan B=2>0,知0<B<,得sin B=,cos B=,由余弦定理可得cos B==,即=,整理得3a2-2a-21=0,解得a=3或a=-(舍去).
【答案】3

4.如图,在△ABC中,已知∠B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.
【解析】在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos ∠ADC===-,
　　∴∠ADC=120°,∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理得=,
∴AB====5.

三角函数性质与正、余弦定理的交汇考查
已知函数f(x)=cos-sin.
(1)若x∈[-2π,2π],求函数f(x)的单调减区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若f(2A-π)=,sin B=cos C,a=,求△ABC的面积.
【方法指导】(1)利用挂念角公式化简f(x),进而得出单调区间;(2)先利用条件求出A、B、C的正、余弦值,再利用正弦定理求出c,最终代入面积公式S=acsin B.
【解析】 (1)f(x)=cos-sin=2(cos-sin)=2cos(+),
由2kπ≤+≤2kπ+π得4kπ-π≤x≤4kπ+π,k∈Z,
∵x∈[-2π,2π],令k=0,得-π≤x≤π,
∴f(x)的单调递减区间为[-π,π].
(2)∵f(2A-π)=,
∴2cos(A-+)=,
∴cos A=,sin A=.
又∵cos C=sin B=sin(A+C),
∴cos C=cos C+sin C,
∴cos C=sin C,
∴sin C=,cos C=,∴sin B=cos C=.
由a=及正弦定理=,得c=,
因此,△ABC的面积为S=acsin B=.
【小结】利用恒等变换公式化简三角函数,进而求解三角函数的单调区间、周期、最值等,是常见的考查形式.这种类型的问题经常与正、余弦定理解三角形的学问交汇考查,一般的思路是求解出三角形的角或边,再利用两个定理解三角形.

平面对量与正、余弦定理的交汇考查
在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足a-2bsin A=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=5,且a>c,b=,求·的值.
【方法指导】(1)利用正弦定理进行边角互化;(2)·等价于△ABC中bc与cos A的积,即在△ABC中求c与cos A.
【解析】(1)由于a-2bsin A=0,
所以 sin A-2sin Bsin A=0,
由于sin A≠0,所以sin B=.
又B为锐角,所以B=.
(2)依据余弦定理,得b2=7=a2+c2-2accos,
整理,得(a+c)2-3ac=7.由已知a+c=5,得ac=6.
又a>c,故a=3,c=2,
所以cos A===,
所以·=||·||cos A=cbcos A
=2××=1.
【小结】与解三角形的学问交汇考查时,向量数量积的计算多使用公式a·b=|a||b|cos<a,b>,应围绕公式中的量,由已知向未知转换,完成对数量积的求解.

三角恒等变换与正、余弦定理的交汇考查
设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,(a+b+c)·(a-b+c)=ac.
(1)求B;
(2)若sin Asin C=,求C.
【方法指导】(1)先化简(a+b+c)(a-b+c)=ac,再由余弦定理的推论求出角B;(2)利用条件sin Asin C=以及(1)中结论,先计算cos(A-C),然后再去求解角C.
【解析】(1)由于(a+b+c)(a-b+c)=ac,
所以a2+c2-b2=-ac.
由余弦定理得cos B==-,
因此B=120°.
(2)由(1)知A+C=60°,所以
cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C
=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C
=cos(A+C)+2sin Asin C
=+2×
=,
故A-C=30°,因此C=15°.
[问题]依据cos(A-C)=,确定能得出A-C=30°,从而角C确定为15°吗?
[结论]依据cos(A-C)=,得出A-C=30°不愿定成立,A-C还可能为-30°.
(1)同错解部分.
(2)由(1)知A+C=60°,
所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C
=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C
=cos(A+C)+2sin Asin C
=+2×=,
故A-C=30°或A-C=-30°, 因此C=15°或C=45°.
【小结】三角恒等变换公式与正、余弦定理交汇考查时,多体现在利用恒等变换公式计算相应角的三角函数值,然后再利用正、余弦定理解三角形或求解三角形的角、边等.

已知f(x)=-cos2x+sin ωx的图象上两相邻对称轴间的距离为(ω>0).
(1)求f(x)的单调减区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=,c=3,△ABC的面积是3,求a的值.
【解析】由已知得,函数f(x)的周期为π.
∵f(x)=-cos2+sin ωx=-+sin ωx=sin ωx-cos ωx-=sin(ωx-)-,
∴ω==2,∴f(x)=sin(2x-)-.
(1)由2kπ+≤2x-≤2kπ+π,得2kπ+π≤2x≤2kπ+π,
∴kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z),∴f(x)的单调减区间是[kπ+,kπ+π](k∈Z).
(2)由f(A)=,得sin(2A-)-=,sin(2A-)=1,
∵0<A<π,∴-<2A-<π,
∴2A-=,故A=.
由S△ABC=bcsin A=3,c=3,得b=4,
∴a2=b2+c2-2bccos A=16+9-2×4×3×=13,
故a=.

已知函数f(x)=sin(-2x)+2cos2x-1(x∈R).
(1)解不等式f(x)≥0;
(2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图象经过点(A,)且b+c=2a,·=9,求a的值.
【解析】f(x)=sin(-2x)+2cos2x-1
=-cos 2x+sin 2x+cos 2x
=cos 2x+sin 2x=sin(2x+).
(1)f(x)≥0,即sin(2x+)≥0,
∴2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),
得:kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z),
∴f(x)≥0的解集为[kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)由f(A)=sin(2A+)=可得:2A+=+2kπ或+2kπ,
∴A=,∴·=bccos A=bc=9,∴bc=18.
又∵b+c=2a,∴cos A====-1,
∴a=3.

设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,cos C=-.
(1)求c;
(2)求cos(A-C).
【解析】(1)∵a=2,b=3,cos C=-,
∴c2=a2+b2-2abcos C=22+32-2×2×3×(-)=16.
∴c=4.
(2)在△ABC中,∵cos C=-,
∴sin C===,且C为钝角.
又∵=,∴sin A===,
∴cos A===,
∴cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=×(-)+×=.

1.一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为(　　).
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】设底边长为x,则两腰长为2x,则顶角的余弦值cos θ==.
【答案】D
2.在△ABC中,sin A+cos A=,AC=2,AB=3,则△ABC的面积为(　　).
A.(+) B.+
C. D.2
【解析】∵sin A+cos A=cos(A-45°)=,∴cos(A-45°)=.
又∵0°<A<180°,∴A=105°,∴sin A=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°=.
又AC=2,AB=3,∴S△ABC=AC·AB·sin A=×2×3×=(+).
【答案】A
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B=,=2,且S△ABC=,则b=　　　　. 
【解析】依题意得,c=2a,b2=a2+c2-2accos B=a2+(2a)2-2×a×2a×=4a2,所以b=c=2a,sin B==,又S△ABC=acsin B=××b×=,所以b=2.
【答案】2
4.已知函数f(x)=sin 2x-cos2x-.
(1)求函数f(x)的最小值,及取最小值时x的值;
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.
【解析】(1)f(x)=sin 2x-cos2x-=sin 2x--=sin(2x-)-1,
所以当且仅当x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
(2)f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-)=1,
∵0<C<π,∴-<2C-<,
∴2C-=,
即C=,
∵sin B=2sin A,由正弦定理得:=,　①
由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos,
即a2+b2-ab=3,　②
联立①②可得a=1,b=2.

(2021年·辽宁卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B等于(　　).
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,所以sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Bsin(A+C)=sin2B=sin B,由于sin B≠0,所以sin B=,又由于a>b,所以B为锐角,故B=.
【答案】A