2021高中数学北师大版必修一导学案：《函数与方程》.docx

第1课时同角三角函数的关系式1.能依据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系,理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1;sinxcosx=tan x,体会由特殊到一般的数学思想方法.2.能利用同角三角函数的基本关系解题,例如已知某个任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个.3.通过简洁运用,理解公式的结构及其功能,提高三角恒等变形的力量.“物以类聚,人以群分”,之所以“分群”“分类”是由于同类之间有很多的共同点,彼此紧密联系.我们现在争辩的三角函数,如角的正弦、余弦、正切之间有什么联系?问题1:同角三角函数基本关系式sin2+cos2=;tan =;tan =1.问题2:在上述问题中,“同角”的含义:(1)角相同;(2)角是使得函数有意义的角,关系式都成立,与角的表达式.问题3:常用的同角三角函数关系式中平方关系和商数关系的变形有哪些?1-cos2=,1-sin2=,(sin +cos )2=1+,(sin -cos )2=1-,sin =,cos =.问题4:同角三角函数关系式可以解决什么问题?利用这两个公式,可以由已知的个三角函数值求出同角的其余个三角函数值,还可以进行同角三角函数式的恒等变换,化简三角函数式或证明三角恒等式.1.下列各项中可能成立的一项是().A.sin =12且cos =12B.sin =0且cos =-1C.tan =1且cos =-1D.在其次象限时,tan =-sincos2.若cos(2-)=53,且(-2,0),则sin(-)=().A.-53B.-23C.-13 D.233.已知tan =-3,则sin-cossin+cos的值为.4.化简1-2sin10cos10sin10-1-sin210.平方关系在求值中的应用已知-2x0,sin x+cos x=15.求sin x cos x和sin x-cos x的值.同角三角函数式的化简与证明(1)化简:1-sin2440.(2)求证:cosx1-sinx=1+sinxcosx.同角三角函数关系式的综合运用已知sin +cos =713,(0,),求tan .若cos x-sin x=12,则cos3x-sin3x=.化简:1-cos4-sin41-cos6-sin6.已知sin cos =38,求sin +cos 的值.1.若sin cos =18,02,则sin +cos 的值是().A.32B.14C.-32D.522.已知sin ,cos 是方程2x2-x-m=0的两根,则m=().A.34B.43C.14D.43.已知为其次象限角,则cos 1+tan2+sin 1+1tan2=.4.已知cos =55,(0,),求3sin-5cossin+2cos的值.已知是第三象限角,sin =-13,则tan =.考题变式(我来改编):答案第1课时同角三角函数的关系式学问体系梳理问题1:1sincoscot 问题2:(2)任意无关问题3:sin2cos22sin cos 2sin cos tan cos sintan问题4:一两基础学习沟通1.BA中不满足平方关系;C中由tan =1且cos =-1得,sin =-1,不满足平方关系;D中不满足商数关系.2.Bcos(2-)=cos =53,又(-2,0),sin =-1-cos2=-1-(53)2=-23.sin(-)=sin =-23.3.2由tan =-3,知cos 0,所以sin-cossin+cos=sin-coscossin+coscos=tan-1tan+1=-3-1-3+1=2.4.解:原式=(sin10-cos10)2sin10-cos10=|sin10-cos10|sin10-cos10=-(sin10-cos10)sin10-cos10=-1.重点难点探究探究一:【解析】(法一)由sin x+cos x=15,平方可得sin2x+2sin x cos x+cos2x=125,即2sin x cos x=-2425,sin x cos x=-1225,(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=4925.又-2x0,sin x0,sin x-cos x0,sin x-cos x=-75.(法二)联立方程sinx+cosx=15,sin2+cos2=1,解得cos x=-35或cos x=45,-2x0,故必有cos |cos |,故tan 1,这种已知条件隐含着角的范围的问题,很简洁被忽视,应引起充分重视.于是,正确解法如下:由sin +cos =713得,sin cos =-60169.又(0,),sin 0,cos 0.而(sin -cos )2=1-2sin cos =289169,sin -cos =1713.由sin +cos =713和sin -cos =1713,解得sin =1213,cos =-513,tan =sincos=-125.【小结】已知sin +cos ,sin -cos ,sin cos 中任何一个都可以结合平方关系求出另外两个值,在求解过程中留意乘方、因式分解和配方的应用.思维拓展应用应用一:1116由cos x-sin x=12得sin xcos x=38,cos3x-sin3x=(cos x-sin x)(1+sin xcos x)=12(1+38)=1116.应用二:(法一)原式=(sin2+cos2)-cos4-sin4(cos2+sin2)-cos6-sin6=2cos2sin23cos2sin2(cos2+sin2)=23.(法二)原式=(1-cos2)(1+cos2)-sin4(1-cos2)(1+cos2+cos4)-sin6=sin2(1+cos2-sin2)sin2(1+cos2+cos4-sin4)=2cos21+cos2+(cos2+sin2)(cos2-sin2)=2cos21+cos2+cos2-sin2=2cos23cos2=23.(法三)原式=1-(cos4+sin4)1-(cos6+sin6)=1-(cos2+sin2)2-2cos2sin21-(cos2+sin2)(cos4-cos2sin2+sin4)=1-1+2cos2sin21-(cos2+sin2)2-3cos2sin2=2cos2sin23cos2sin2=23.应用三:sin cos =38,1+2sin cos =74,sin2+cos2+2sin cos =74,即(sin +cos )2=74,sin +cos =72.基础智能检测1.D00,cos 0,sin +cos =(sin+cos)2=1+2sincos=1+218=52.2.A由韦达定理得sin+cos=12,sincos=-m2.式两边平方得1+2sin cos =14,把代入得1+2(-m2)=14,即m=34.3.0原式=cos 1+sin2cos2+sin 1+cos2sin2=cos 1cos2+sin 1sin2=cos 1-cos+sin 1sin=0.4.解:由题意知sin =255,3sin-5cossin+2cos=3255-555255+255=14.全新视角拓展24cos =-1-sin2=-223,所以tan =sincos=24.思维导图构建sin2+cos2 =1tan cot =1