2021高中数学北师大版必修一导学案：《函数与方程》.docx

第1课时　同角三角函数的关系式

1.能依据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系,理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1;sinxcosx=tan x,体会由特殊到一般的数学思想方法.
2.能利用同角三角函数的基本关系解题,例如已知某个任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个.
3.通过简洁运用,理解公式的结构及其功能,提高三角恒等变形的力量.

“物以类聚,人以群分”,之所以“分群”“分类”是由于同类之间有很多的共同点,彼此紧密联系.我们现在争辩的三角函数,如角的正弦、余弦、正切之间有什么联系?

问题1:同角三角函数基本关系式
sin2α+cos2α=　　;tan α=　　　　　;tan α·　　　　　=1. 
问题2:在上述问题中,“同角”的含义:(1)角相同;(2)角α是使得函数有意义的　　　　角,关系式都成立,与角的表达式　　　　. 
问题3:常用的同角三角函数关系式中平方关系和商数关系的变形有哪些?
1-cos2α=　　　　　,1-sin2α=　　　　　, 
(sin α+cos α)2=1+　　　　　　　, 
(sin α-cos α)2=1-　　　　　　　　, 
sin α=　　　　　　　,cos α=　　　　　　　　. 
问题4:同角三角函数关系式可以解决什么问题?
利用这两个公式,可以由已知的　　　　个三角函数值求出同角的其余　　　　个三角函数值,还可以进行同角三角函数式的恒等变换,化简三角函数式或证明三角恒等式. 

1.下列各项中可能成立的一项是(　　).
A.sin α=12且cos α=12 B.sin α=0且cos α=-1
C.tan α=1且cos α=-1 D.α在其次象限时,tan α=-sinαcosα
2.若cos(2π-α)=53,且α∈(-π2,0),则sin(π-α)=(　　).
A.-53　　 B.-23　　 C.-13　　 D.±23
3.已知tan α=-3,则sinα-cosαsinα+cosα的值为　　　　. 
4.化简1-2sin10°cos10°sin10°-1-sin210°.

平方关系在求值中的应用
已知-π2<x<0,sin x+cos x=15.求sin x cos x和sin x-cos x的值.

同角三角函数式的化简与证明
(1)化简:1-sin2440°.
(2)求证:cosx1-sinx=1+sinxcosx.

同角三角函数关系式的综合运用
已知sin α+cos α=713,α∈(0,π),求tan α.

若cos x-sin x=12,则cos3x-sin3x=　　　. 

化简:1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

已知sin θ cos θ=38,求sin θ+cos θ的值.

1.若sin αcos α=18,0<α<π2,则sin α+cos α的值是(　　).
A.32　　　 B.14　　　 C.-32　　　 D.52
2.已知sin α,cos α是方程2x2-x-m=0的两根,则m=(　　).
A.34 B.43 C.14 D.4
3.已知α为其次象限角,则cos α·1+tan2α+sin α·1+1tan2α=　　　　. 
4.已知cos α=55,α∈(0,π),求3sinα-5cosαsinα+2cosα的值.

已知α是第三象限角,sin α=-13,则tan α=　　　　. 
　　考题变式(我来改编):

答案
第1课时　同角三角函数的关系式

学问体系梳理
问题1:1　sinαcosα　cot α
问题2:(2)任意　无关
问题3:sin2α　cos2α　2sin α·cos α　2sin α·cos α　tan α·cos α　sinαtanα
问题4:一　两
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1.B　A中不满足平方关系;C中由tan α=1且cos α=-1得,sin α=-1,不满足平方关系;D中不满足商数关系.
2.B　cos(2π-α)=cos α=53,又α∈(-π2,0),∴sin α=-1-cos2α=-1-(53)2=-23.∴sin(π-α)=sin α=-23.
3.2　由tan α=-3,知cos α≠0,所以sinα-cosαsinα+cosα=sinα-cosαcosαsinα+cosαcosα=tanα-1tanα+1=-3-1-3+1=2.
4.解:原式=(sin10°-cos10°)2sin10°-cos10°
=|sin10°-cos10°|sin10°-cos10°=-(sin10°-cos10°)sin10°-cos10°=-1.
重点难点探究
探究一:【解析】(法一)由sin x+cos x=15,
平方可得sin2x+2sin x cos x+cos2x=125,
即2sin x cos x=-2425,∴sin x cos x=-1225,
∴(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=4925.
又∵-π2<x<0,∴sin x<0,cos x>0,
∴sin x-cos x<0,sin x-cos x=-75.
(法二)联立方程sinx+cosx=15,sin2α+cos2α=1,
解得cos x=-35或cos x=45,
∵-π2<x<0,∴sinx=-35,cosx=45,
∴sin x cos x=-1225,sin x-cos x=-75.
【小结】在三角函数求值中,已知sin x+cos x,sin x cos x,sin x-cos x中的一个可利用方程的思想求出另外两个的值,即“知一求二”.解题时,要特殊留意开方后对正负的取舍.
　　探究二:【解析】(1)原式=1-sin2(360°+80°)=1-sin280°=cos280°=cos 80°.
(2)(法一)由cos x≠0知1+sin x≠0,于是左=cosx(1+sinx)(1-sinx)(1+sinx)=cosx(1+sinx)1-sin2x=cosx(1+sinx)cos2x=1+sinxcosx=右,证毕.
(法二)由1-sin x≠0,cos x≠0,于是右=(1+sinx)(1-sinx)cosx(1-sinx)=1-sin2xcosx(1-sinx)=cos2xcosx(1-sinx)=cosx1-sinx=左,证毕.
(法三)左-右=cosx1-sinx-1+sinxcosx=cos2x-(1+sinx)(1-sinx)(1-sinx)cosx=cos2x-cos2x(1-sinx)cosx=0,
所以cosx1-sinx=1+sinxcosx.
【小结】①脱掉根号的过程就是同角三角函数关系公式的应用过程;②对于去掉根号后的含确定值的式子,需依据确定值内的式子符号的正负状况,做好分类争辩,去掉确定值符号.
　　探究三:【解析】由sin α+cos α=713,得sin αcos α=-60169,
∴sinαcosαsin2α+cos2α=-60169,
∴tanαtan2α+1=-60169,
∴60tan2α+169tan α+60=0,
解得tan α=-125或tan α=-512.
[问题]上述解法正确吗?
[结论]不正确.从sin α+cos α与sin αcos α的值可知,sin α与cos α应为异号,而结合α∈(0,π)与sin α+cos α=713,可知sin α>0,故必有cos α<0,且|sin α|>|cos α|,故tan α<0,且|tan α|>1,这种已知条件隐含着角的范围的问题,很简洁被忽视,应引起充分重视.
于是,正确解法如下:
由sin α+cos α=713得,sin αcos α=-60169.
又α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0.
而(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=289169,
∴sin α-cos α=1713.
由sin α+cos α=713和sin α-cos α=1713,
解得sin α=1213,cos α=-513,
∴tan α=sinαcosα=-125.
【小结】已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中任何一个都可以结合平方关系求出另外两个值,在求解过程中留意乘方、因式分解和配方的应用.
思维拓展应用
应用一:1116　由cos x-sin x=12得sin xcos x=38,cos3x-sin3x=(cos x-sin x)(1+sin xcos x)=12·(1+38)=1116.
　　应用二:(法一)原式=(sin2α+cos2α)-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)-cos6α-sin6α
=2cos2αsin2α3cos2αsin2α(cos2α+sin2α)=23.
(法二)原式=(1-cos2α)(1+cos2α)-sin4α(1-cos2α)(1+cos2α+cos4α)-sin6α
=sin2α(1+cos2α-sin2α)sin2α(1+cos2α+cos4α-sin4α)
=2cos2α1+cos2α+(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)
=2cos2α1+cos2α+cos2α-sin2α=2cos2α3cos2α=23.
(法三)原式=1-(cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α)
=1-[(cos2α+sin2α)2-2cos2αsin2α]1-(cos2α+sin2α)(cos4α-cos2αsin2α+sin4α)
=1-1+2cos2αsin2α1-[(cos2α+sin2α)2-3cos2αsin2α]
=2cos2αsin2α3cos2αsin2α=23.
　　应用三:∵sin θ cos θ=38,
∴1+2sin θ cos θ=74,
∴sin2θ+cos2θ+2sin θ cos θ=74,
即(sin θ+cos θ)2=74,
∴sin θ+cos θ=±72.
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1.D　∵0<α<π2,∴sin α>0,cos α>0,∴sin α+cos α=(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+2×18=52.
2.A　由韦达定理得
sinα+cosα=12,　①sinαcosα=-m2.　②
①式两边平方得1+2sin α cos α=14,
把②代入得1+2·(-m2)=14,即m=34.
3.0　原式=cos α1+sin2αcos2α+sin α1+cos2αsin2α
=cos α1cos2α+sin α 1sin2α
=cos α1-cosα+sin α1sinα=0.
4.解:由题意知sin α=255,
∴3sinα-5cosαsinα+2cosα=3×255-5×55255+2×55
=14.
全新视角拓展
24　cos α=-1-sin2α=-223,所以tan α=sinαcosα=24.
思维导图构建
sin2α+cos2 α=1　tan α·cot α=1