2021高中数学北师大版必修一导学案：《函数模型及其应用》.docx

第4课时函数模型及其应用1.把握求解函数应用题的基本步骤,并能利用常见的函数模型解决实际问题.2.能够依据已有的数据建立拟合函数解决实际问题.前面我们学习了几种不同增长的函数模型问题,并重点学习了利用函数模型解决一些简洁的实际问题;另外在一些实际问题中,还会遇到对函数模型的机敏选择以及应用的问题,本节课就来争辩这类问题.问题1:我们所学过的重要的函数模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(2)反比例函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0);(4)指数函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,b1);(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,a1);(6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0,n1);问题2:(1)建立数学模型的方法是怎样的?(2)在解决实际问题过程中,该如何做才能找到合适的数学模型?(3)解函数应用问题的基本步骤是什么?(1)一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关帮助变量,并用x、y和帮助变量表示各相关量,然后依据问题的,运用已把握的数学学问、物理学问及其他相关学问建立,在此基础上将问题转化为一个问题,实现问题的数学化,即所谓的建立数学模型.(2):建立直角坐标系,画出散点图;:依据散点图设想比较接近的可能的函数模型.例如:一次函数型、二次函数型、指数、对数函数型.:利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型.(3)第一步:阅读理解,审清题意.其次步:引进数学符号,建立.第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果.第四步:将所得结果再转译成具体问题的答案.问题3:(1)对于一些函数实际应用问题,我们该如何分析?(2)数学模型的实质是什么?(1)把问题模型化,思考我们要争辩的问题与我们学习过的学问有何关系,把实际问题转化为去争辩,利用函数性质特点求解出数学问题,再转化为实际问题的解.(2)数学模型是用模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来,并用来表达,数学模型可接受各种形式,如方程(组),函数解析式,图形与网络等.1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为().A.200副B.400副C.600副D.800副2.某公司聘请员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=4x,1x10,xN+,2x+10,10x10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40100,不合题意.故拟录用人数为25.3.y=1-x10,0x10y=1-x10,0x10.4.解:设经过x年后能使现有资金翻一番,则2000(1+8%)x=4000,即1.08x=2.两边取对数,有x=lg2lg1.08=lg2lg5.45=lg2lg5.4-(1-lg2)0.30100.7324-1+0.30109.01.所以,经过10年后才能使现有资金翻一番.重点难点探究探究一:【解析】(1)当x=1时,y=100+1001.2%=100(1+1.2%);当x=2时,y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2;当x=3时,y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3;故y关于x的函数解析式为y=100(1+1.2%)x(xN+).(2)当x=10时,y=100(1+1.2%)10=1001.01210112.7.故10年后该县约有112.7万人.(3)设x年后该县的人口总数为120万,则100(1+1.2%)x=120,所以 x=log1.01212010016.故大约16年后该县的人口总数将达到120万.【小结】解决此类问题时肯定要留意不要将次幂搞错.解决本题的另一个难点就是不能正确地进行指对互化,进而利用对数的运算来求解.探究二:【解析】设使用WAP手机上网的时间为x分钟,由已知条件可知:当上网时间不超过60分钟时,以每分钟0.5元递增计费;当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时,一律按30元收费;当上网时间超过500分钟时,在30元的基础上,再增加0.15元/分钟.故所付上网费为:y=0.5x,1x500.(1)当x=2060=1200(分钟)时,应将1200代入第三段解析式,得y=135,小周要付135元上网费.(2)90元已经超过30元,所以上网时间超过500分钟,由函数解析式可得x=900,小周这个月用手机可以上网900分钟.(3)当1x60时,ymax500时,30+0.15(x-500)=60x=700,若每月上网时间少于700分钟,则选用WAP手机上网;若等于700分钟,则选择两种上网方式都可以;若上网时间超过700分钟,则选用电脑上网.【小结】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要留意各段变量的范围,特殊是端点值.探究三:【解析】以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.观看散点图可以看出,A种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,再把(1,0.65)代入得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟.设y=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1),代入得0.25=k+b,1=4k+b,解得k=0.25,b=0,所以y=0.25x.综上,前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.设下月投入A,B两种商品的资金分别为xA,xB(万元),总利润为W(万元),那么xA+xB=12,W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB.所以W=-0.15(xA-196)2+0.15(196)2+2.6.当xA=1963.2(万元)时,W取最大值,约为4.1万元,此时xB8.8(万元).即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大利润约为4.1万元.【小结】本题依据给定的数据画出散点图,然后依据散点图的“走向”找到其拟合函数,依据题意得出总利润与投资A产品的金额之间的函数关系,最终转化为二次函数的最值问题.思维拓展应用应用一:(1)由已知得y=20lgPP0=20lgP210-5.(2)当P=0.002时,y=20lg0.002210-5=40,y60,该地区为无害区.(3)设中心电视台大厅的声压是x帕,则当y=90时,有lgx210-5=9020=4.5,x=105,此时中心电视台大厅的声压是105帕.应用二:(1)由图可得:P=t+20(0t25,tN+),-t+100(25t30,tN+).(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Q=-t+40(0t30,tN+).(3)由题意y=(t+20)(-t+40)(0t25,tN+),(-t+100)(-t+40)(25t30,tN+)=-(t-10)2+900(0t25,tN+),(t-70)2-900(25t30,tN+),当0t25,t=10时,ymax=900,当25t30,t=25时,ymax=(25-70)2-900=1125,故当t=25时,日销售金额最大且最大值为1125元.应用三:(1)利用计算机几何画板软件,描点如图.(2)从上图可以看到,数据点大致落在一条直线四周,由此,我们假设浇灌面积y和最大积雪深度x满足线性模型:y=a+bx.取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,得21.1=a+10.4b,45.8=a+24.0b,用计算器可得a2.4,b1.8,这样,我们得到一个函数模型:y=2.4+1.8x,画图略.基础智能检测1.C设2022年提价前的价格为a,2021年要恢复成原价应降价x,于是有a(1+25%)(1-x)=a,解得x=15,即应降价20%.2.D设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值为7,故选D.3.甲将已知的三个点的坐标分别代入两个解析式得,前两个点均适合,但第三个点更适合甲,比较发觉选甲更好.4.解:实数对(x,y)对应的点如图所示,由图可知y是x的一次函数.(1)设f(x)=kx+b,则60=30k+b30=40k+b,解得k=-3,b=150.f(x)=-3x+150,30x50.检验成立.(2)P=(x-30)(-3x+150)=-3x2+240x-4500,30x50,对称轴x=-2402(-3)=4030,50.故当销售单价为40元时,所获利润最大.全新视角拓展4设至少要洗x次,则(1-34)x1100,x1lg23.322,需4次.思维导图构建二次函数模型反比例函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型