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B9 函数与方程
【数学理卷·2021届浙江省慈溪市慈溪中学高三上学期期中考试（202211） (1)】10．已知函数若三个正实数互不相等，且满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】B 作出函数f（x）的图象如图，
不妨设x1＜x2＜x3，则-lgx1=lgx2=-x3+6∈（0，1）
∴x1x2=1，0＜-x3+6＜1则x1x2x3=x3∈（10，12）．故选：B
【思路点拨】画出函数的图象，依据f（x1）=f（x2）=f（x3），不妨不妨设x1＜x2＜x3，求出x1x2x3的范围即可．
【数学理卷·2021届浙江省慈溪市慈溪中学高三上学期期中考试（202211） (1)】8．设函数的零点为，的零点为，若，则 可以是
A． B． C． D．
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】D 选项A：x1=1，选项B：x1=0，选项C：x1=或-，
选项D：x1= ；∵g（1）=4+2-2＞0，g（0）=1-2＜0，g（）=2+1-2＞0，
g（）=+-2＜0，则x2∈（，），故选D．
【思路点拨】首先确定选项A、B、C、D中的零点为x1，从而利用二分法可求得
x2∈（，），从而得到答案．
【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】16.已知函数，若函数y=f(f(x))+1有4个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】（0，+∞） 函数y=f（f（x））+1的零点，
即方程f[f（x）]=-1的解个数，
（1）当a=0时，f（x）=，
当x＞1时，x=，f（f（x））=-1成立，∴方程f[f（x）]=-1有1解
当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]=-1无解，
当x≤0时，f（x）=1，f（f（x））=0，∴，∴f（f（x））=-1有1解，故a=0不符合题意，
（2）当a＞0时，
当x＞1时，x=，f（f（x））=-1成立，当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]=-1有1解，
当＜x≤0时，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））=-1有1解，当x≤-时，f（x）＜0，
∴f（f（x））=-1有1解，故，f（f（x））=-1有4解，
（3）当a＜0时，
当x＞1时，x=，f（f（x））=-1成立，∴f（f（x））=-1有1解，
当0＜x≤1时，f（x）≤0．f（f（x））=-1，成立∴f（f（x））=-1有1解，
当x≤0时，f（x）≥1，f（f（x））=-1，成立∴f（f（x））=-1有1解，
故f（f（x））=-1有3解，不符合题意，综上；a＞0故答案为：（0，+∞）
【思路点拨】函数y=f[f（x）]+1的零点个数，即为方程f[f（x）]=-1的解的个数，结合函数f（x）图象，分类争辩推断，求解方程可得答案．
【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】12.已知两条直线:y=m 和:y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A,B,与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为( )来源%&:中国~训练#出版]
A． B. C. D.
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】D 设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，
则-log2xA=m，log2xB=m；-log2xC=，log2xD=；
∴xA=2-m，xB=2m，xC=，xD=．
∴a=|xA-xC|，b=|xB-xD|，
∴==||=2m•=+．
又m＞0，∴m+=（2m+1）+-≥2--=（当且仅当m=时取“=”）
∴≥=8．故选D．
【思路点拨】设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，依题意可求得为xA，xB，xC，xD的值，a=|xA-xC|，b=|xB-xD|，利用基本不等式可求得当m变化时， 的最小值．
【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】12、若定义在R上的函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【学问点】函数的零点.B9
【答案】【解析】B解析：解：定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），
∴函数是偶函数，关于x=1对称，∵函数f（x）=xex的定义域为R，f′（x）=（xex）′=x′ex+x（ex）′=ex+xex令f′（x）=ex+xex=ex（1+x）=0，解得：x=-1．
列表：
由表可知函数f（x）=xex的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为（-1，+∞）．
当x=-1时，函数f（x）=xex的微小值为．y=|xex|，在x=-1时取得极大值：，x∈（0，+∞）是增函数，x＜0时有5个交点，x＞0时有1个交点．
共有6个交点故选：C．
【思路点拨】求出函数f（x）=xex的导函数，由导函数等于0求出x的值，以求出的x的值为分界点把原函数的定义域分段，以表格的形式列出导函数在各区间段内的符号及原函数的增减性，从而得到函数的单调区间及极值点，把极值点的坐标代入原函数求极值．然后推断y=|xex|的极值与单调性，然后推出零点的个数
【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】17. (本小题满分12分)
已知函数（）在区间上有最大值和最小值．
设．
（1）求、的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【学问点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系．B5 B9
【答案】【解析】(1) (2)
解析：（1），由于，所以在区间上是增函数，
故，解得． ………………5分
（2）由已知可得，所以可化为，
化为，令，则，因，故，
记，由于，故， 所以的取值范围是．……12分
【思路点拨】（1）由函数，，所以在区间上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为，故有，，求出的最大值，从而求得k的取值范围．
【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】14. 定义域为的偶函数满足对任意，有，且当 时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是 ．
【学问点】抽象函数及其应用；函数的零点．B9 B10
【答案】【解析】 解析：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，
函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．
∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
则有g（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，
即loga3＞﹣2，∴3＜，解得-＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，
故答案为：（0，）．
【思路点拨】令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，依据函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．
【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】16.函数的零点个数为_____________.
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】2 令f（x）=0，得到解得x=-1；和，
令y=2-x和y=lnx，在同一个坐标系中画出它们的图象，观看交点个数，如图
函数y=2-x和y=lnx，x＞0时，在同一个坐标系中交点个数是1个，所以函数f（x）的零点在x＜0时的零点有一个，在x＞0时零点有一个，所以f（x）的零点个数为2；
故答案为：2．
【思路点拨】令f（x）=0，得到方程根的个数，就是函数的零点的个数；在x-2+lnx=0时，转化为y=2-x与y=lnx的图象的交点个数推断．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】12.已知函数,若方程恰有七个不相同的实根,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】B
f（1）=f（3）=0，f（2）=1，f（x）≥0，
∵若方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，
∴t2+bt+c=0，其中一个根为1，另一个根在（0，1）内，∴g（t）=t2+bt+c，
g（1）=1+b+c=0，g（-＜0，0＜-＜1，
g（0）=c＞0方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根
∴c=-1-b＞0，b≠-2，-2＜b＜0，即b的范围为：（-2，-1）故选：B
【思路点拨】画出f（x）的图象，依据方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，可推断方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，再运用根的存在性定理可推断答案．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】6. 若成等比数列，则函数的零点个数为（ ）
A. 0 B.1 C.2 D.以上都不对
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】A 由于a，b，c成等比数列，所以b2=ac＞0，
则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac=-3ac＜0，所以此方程没有实数根，
即函数y=ax2+bx+c的零点个数为0个，故选：A．
【思路点拨】依据等比中项的性质得b2=ac＞0，再推断出方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac=-3ac＜0，即可得到结论
【数学文卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】15、对于三次函数，给出定义：设是函数 的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经过探究发觉：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。若，请你依据这一发觉，求解下列问题：
（1）函数的对称中心为 ;
（2）计算： ．
【学问点】函数的值；函数的零点；导数的运算．B1 B9 B11
【答案】【解析】（1） （2）2022 解析：（1）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣，
∴f′（x）=x2﹣x+3，f''（x）=2x﹣1，
令f''（x）=2x﹣1=0，得x=，
∵f（）=+3×=1，
∴f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为，
（2）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为，
∴f（x）+f（1﹣x）=2，
∴=2×1006=2022．
故答案为：，2022．
【思路点拨】（1）依据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数的对称中心．
（2）由的对称中心为，知f（x）+f（1﹣x）=2，由此能够求出．
【数学文卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】9.已知，实数a、b、c满足＜0，且0＜a＜b＜c，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中，不行能成立的是 （ D ）
A．＜a B．＞b C．＜c D．＞c
【学问点】函数零点的判定定理.B9
【答案】【解析】D 解析：当时，当时＜0，且，所以不行能成立.
【思路点拨】确定函数为减函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类争辩分别求得可能成立选项，从而得到答案．
【数学文卷·2021届浙江省慈溪市（慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（202211）】8．设函数的零点为，的零点为，若，则 可以是
A． B． C． D．
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】D 选项A：x1=1，选项B：x1=0，选项C：x1=或-，
选项D：x1= ；∵g（1）=4+2-2＞0，g（0）=1-2＜0，g（）=2+1-2＞0，
g（）=+-2＜0，则x2∈（，），故选D．
【思路点拨】首先确定选项A、B、C、D中的零点为x1，从而利用二分法可求得
x2∈（，），从而得到答案．
【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】16.函数的零点个数为_____________.
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】2 令f（x）=0，得到解得x=-1；和，
令y=2-x和y=lnx，在同一个坐标系中画出它们的图象，观看交点个数，如图
函数y=2-x和y=lnx，x＞0时，在同一个坐标系中交点个数是1个，所以函数f（x）的零点在x＜0时的零点有一个，在x＞0时零点有一个，所以f（x）的零点个数为2；
故答案为：2．
【思路点拨】令f（x）=0，得到方程根的个数，就是函数的零点的个数；在x-2+lnx=0时，转化为y=2-x与y=lnx的图象的交点个数推断．
【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】12.已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】B
f（1）=f（3）=0，f（2）=1，f（x）≥0，
∵若方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，
∴t2+bt+c=0，其中一个根为1，另一个根在（0，1）内，∴g（t）=t2+bt+c，
g（1）=1+b+c=0，g（-＜0，0＜-＜1，
g（0）=c＞0方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根
∴c=-1-b＞0，b≠-2，-2＜b＜0，即b的范围为：（-2，-1）故选：B
【思路点拨】画出f（x）的图象，依据方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，可推断方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，再运用根的存在性定理可推断答案．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】6. 若成等比数列，则函数的零点个数为（ ）
A. 0 B.1 C.2 D.以上都不对
【学问点】函数与方程B9
【答案解析】A 由于a，b，c成等比数列，所以b2=ac＞0，
则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac=-3ac＜0，所以此方程没有实数根，
即函数y=ax2+bx+c的零点个数为0个，故选：A．
【思路点拨】依据等比中项的性质得b2=ac＞0，再推断出方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac=-3ac＜0，即可得到结论
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