2021高中数学北师大版必修二导学案：《直线方程的综合应用》.docx

第7课时　直线方程的综合应用

1.巩固直线方程的概念和两直线的位置关系.
2.会用直线方程的性质及距离公式解决综合性问题.

前面几节课,我们学习了直线的五种方程,两直线间的平行问题、垂直问题,相交的交点坐标,距离公式 ,还接触了对称问题,那么对这些内容有没有完全吸取理解呢?会不会解决它们的综合性问题呢?于是,我们在这里停一下脚步,回头巩固一下我们所学的重点学问,强化一下这些学问的综合性的应用.

问题1:两条直线的位置关系
(1)设直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则
l1∥l2⇔　1=k2且b1≠b2　; l1⊥l2⇔　k1· k2=-1　. 
(2)若直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2⇔　A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1　;  
l1⊥l2⇔　A1A2+B1B2=0　. 
问题2:距离公式
(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离为|P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2　. 
(2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=　　　　　　　　. 
(3)直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2),则d=　　　　　　. 
问题3:对称问题
(1)常见的点关于直线的对称点坐标之间关系总结如下:
①A(a,b)关于x轴的对称点为A'　(a,-b)　; 
②B(a,b)关于y轴的对称点为B'　(-a,b)　; 
③C(a,b)关于直线y=x的对称点为C'　(b,a)　; 
④D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D'　(-b,-a)　; 
⑤P(a,b)关于直线x=m的对称点为P'　(2m-a,b)　; 
⑥Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q'　(a,2n-b)　. 
(2)常见的直线关于直线的对称直线有:
设直线l:Ax+By+C=0.
①l关于x轴对称的直线是　Ax+B(-y)+C=0　; 
②l关于y轴对称的直线是　A(-x)+By+C=0　; 
③l关于直线y=x对称的直线是　Bx+Ay+C=0　; 
④l关于直线y=-x对称的直线是　A(-y)+B(-x)+C=0　. 
转化思想是解决对称问题的主要思想方法,其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题.
问题4:直线系方程
(1)过定点的直线系:(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0,过由方程组　　　　　　　　的解确定的定点. 
(2)平行直线系:直线y=kx+b是与直线y=kx平行的直线系,其中　b≠0　;直线　Ax+By+C=0　是与直线Ax+By=0平行的直线系,其中C≠0. 
(3)垂直直线系:直线　Bx-Ay+C=0　是与直线Ax+By=0垂直的直线系. 

1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足(　　).
A.m≠0 B.m≠-32
C.m≠1 D.m≠1,m≠-32,m≠0
2.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线的条数为(　　).
A.3　 B.2 C.1 D.0
3.点A(-2,2)到直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m+3=0距离的最大值是　　　　. 
4.在△ABC中,高线AD与BE的方程分别是x+5y-3=0和x+y-1=0,AB边所在直线的方程是x+3y-1=0,试求点C的坐标.

直线间的平行与垂直问题
求过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且分别满足下列条件的直线方程.
(1)与直线l:3x+4y-2=0平行.
(2)到点P(0,4)的距离为2.

距离公式的应用
点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-5λ=0的距离为d,求d的最大值.

直线间的对称问题
已知直线l:y=3x+3.
求:(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标;
(2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程;
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.

已知直线(a-1)x-2y+4=0与x-ay-1=0.
(1)若两直线平行,则a=　　　　; 
(2)若两直线垂直,则a=　　　　. 

已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在的直线方程为x+3y-2=0,求其他三边所在直线的方程.

已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求:
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程.

1.过点(2,1)和(a,2)的直线方程为(　　).
A.y-1=1a-2(x-2) B.x=2
C.y-1=1a-2(x-2)或x=2 D.y-1=1a-2(x-2)或y=2
2.直线x+2y-1=0关于直线x=2对称的直线方程是(　　).
A.x+2y-3=0　　 B.x-2y-3=0 C.2x-y+3=0 D.2x-y-3=0
3.直线l1:3x+4y-2=0关于直线6x+8y+4=0对称的直线方程为　　　　. 
4.始终线经过点P(3,2),并且和两条直线x-3y+10=0、2x-y-8=0都相交,且两个交点连线的中点为P,求这条直线的方程.

　　(2011年·安徽卷)在平面直角坐标系中,假如x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是　　　　(写出全部正确命题的编号). 
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点.
②假如k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点.
③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点.
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数.
⑤存在恰经过一个整点的直线.
　　考题变式(我来改编):

第7课时　直线方程的综合应用

学问体系梳理
问题1:(1)k1=k2且b1≠b2　k1· k2=-1　(2)A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1　A1A2+B1B2=0
问题2:(1)(x2-x1)2+(y2-y1)2　(2)|Ax0+By0+C|A2+B2　(3)|C1-C2|A2+B2
问题3:(1)①(a,-b)　②(-a,b)　③(b,a)　④(-b,-a)
⑤(2m-a,b)　⑥(a,2n-b)　(2)①Ax+B(-y)+C=0　②A(-x)+By+C=0　③Bx+Ay+C=0　④A(-y)+B(-x)+C=0
问题4:(1)A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0　(2)b≠0　Ax+By+C=0　(3)Bx-Ay+C=0
基础学习沟通
1.C　2m2+m-3,m2-m不能同时为0,所以m≠1.
2.B　依据直线过点(1,3),当斜率存在时,可设其方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,又与原点的距离为1,则|3-k|1+k2=1,解之得k=43.当斜率不存在时,直线为x=1,明显与原点的距离为1,故满足条件的直线有2条.
3.5　直线l方程变形为(x-y-3)m+(x+2y+3)=0,则有x-y-3=0,x+2y+3=0解得x=1,y=-2,即直线l恒过点B(1,-2),易求得AB=5,所以A到直线l距离小于等于5,当AB⊥l时等号成立.
4.解:联立AD方程和AB方程x+5y-3=0,x+3y-1=0,可求得点A坐标为(-2,1),设点C(a,b),
由于AC⊥BE,所以kAC·kBE=-1,得到a-b+3=0,
同理可求得点B坐标为(1,0),kAD·kBC=-1,得到5a-b-5=0,
解方程a-b+3=0,5a-b-5=0得a=2,b=5,所以点C 的坐标为(2,5).
重点难点探究
探究一:【解析】设经过直线l1和l2的交点的直线方程为(2x+3y-8)+m(x-2y+3)=0,
即(2+m)x+(3-2m)y+3m-8=0.①
(1)由题意得,4(2+m)=3(3-2m),解得m=110,所求直线的方程为(2x+3y-8)+110(x-2y+3)=0,即3x+4y-11=0.
(2)由题意可得,|(12-8m)+3m-8|(2+m)2+(3-2m)2=2,化简得5m2-8m-36=0,解得m=-2或m=185,代入①式得所求直线方程为y=2或4x-3y+2=0.
【小结】常见的直线系方程有:(1)平行的直线系方程,与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+M=0(M≠C),或与y=kx+b平行的直线系方程为y=kx+n(n≠b);(2)垂直的直线系方程,与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+N=0;(3)经过两条直线交点的直线系方程,经过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+m(A2x+B2y+C2)=0(其中m为实数),方程不包括直线l2.
　　探究二:【解析】直线l的方程可化为x+y-2+λ(3x+y-5)=0,
由x+y-2=0,3x+y-5=0,解得x=32,y=12,直线l过定点A(32,12).
如图,d≤|PA|.

当PA⊥l时,
d取最大值|PA|.
∵|PA|=
(-2-32)2+(-1-12)2=582,
∴d的最大值为582.
【小结】数形结合、运动变化的思想方法是数学中常用的思想方法,当图形中的元素运动变化时我们能直观看到一些量的变化状况,进而可求出这些量的变化范围.
　　探究三:【解析】(1)设点P关于直线l的对称点为P'(x',y'),则点P,P'的中点M在直线l上,且直线PP'垂直于直线l,即y'+52=3·x'+42+3,y'-5x'-4×3=-1,解得x'=-2,y'=7,所以点P'的坐标为(-2,7).
(2)设直线l1:y=x-2关于l的对称直线为l2,则l1上的任一点P1(x1,y1)关于l的对称点为P2(x2,y2)肯定在l2上,反之也成立,所以y1+y22=3·x1+x22+3,y1-y2x1-x2×3=-1,
解得x1=-45x2+35y2-95,y1=35x2+45y2+35,把(x1,y1)代入y=x-2中,整理得7x2+y2+22=0,所以直线y=x-2关于l的对称直线的方程为7x+y+22=0.
(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l',由于l∥l',可设直线l'为y'=3x'+b,且y=3x+3上的点(0,3)关于A(3,2)对称的点肯定在直线l'上,设该点的坐标为(x0,y0),则0+x02=3,3+y02=2,即x0=6,y0=1,代入y'=3x'+b,解得b=-17,故l'的方程为y'=3x'-17,即对称直线的方程为3x-y-17=0.
【小结】点的对称问题是最基本的对称,是其他对称的基础.同时,关于对称问题还需留意以下几类特殊状况:(1)点P(x,y)关于x轴的对称点为P'(x,-y);(2)点P(x,y)关于y轴的对称点为P'(-x,y);(3)点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y);(4)点P(x,y)关于直线y=x的对称点为P'(y,x);(5)点P(x,y)关于直线y=-x的对称点为P'(-y,-x).
思维拓展应用
应用一:-1或2　13　(法一)当a=0或1时,两直线相交.
当a≠0且a≠1时,
直线(a-1)x-2y+4=0的斜率为k1=-1+a2,b1=2;
直线x-ay-1=0的斜率为k2=1a,b2=-1a.
(1)由k1=k2,且b1≠b2,
即1a=-1+a2且a≠-12,解得a=-1或a=2,
∴当a=-1或2时,两直线平行.
(2)由k1·k2=-1,即1a·-1+a2=-1,得a=13.
∴当a=13时,两直线垂直.
(法二)(1)由两直线平行得:(a-1)·(-a)+2×1=0,即得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,
又a=-1或a=2时两直线不重合.
∴当a=-1或2时,两直线平行.
(2)由a-1+2a=0,得a=13,
∴当a=13时,两直线垂直.
应用二:由x-y+1=0,2x+y+2=0得x=-1,y=0,
∴中心坐标为(-1,0),
∴中心到已知边的距离为|-1-2|12+32=310.
设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0和3x-y+n=0.
∵正方形中心到各边距离相等,
∴|-1+m|10=310和|-3+n|10=310,
∴m=4或m=-2(舍),n=6或n=0.
∴其他三边所在直线的方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0.
　　应用三:(1)设A'(x,y),由已知得
y+2x+1·23=-1,2×x-12-3×y-22+1=0,解得x=-3313,y=413.
∴A'(-3313,413).
(2)在直线m上取一点如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m'上,设对称点为M'(a,b),
则2×a+22-3×b+02+1=0,b-0a-2×23=-1,解得a=613,b=3013.
∴M'(613,3013).
设m与l的交点为N,由2x-3y+1=0,3x-2y-6=0,得N(4,3).
又∵m'经过点N(4,3),
∴直线m'的方程为9x-46y+102=0.
基础智能检测
1.C　当a=2时,过点(2,1)和(a,2)的直线方程为x=2;
当a≠2时,过点(2,1)和(a,2)的直线方程为y-1=1a-2(x-2).
2.B　x+2y-1=0经过两点(-1,1),(1,0),这两点关于直线x=2对称的点分别是(5,1),(3,0),由两点式可求得对称直线为x-2y-3=0.
3.3x+4y+6=0　∵直线3x+4y-2=0与6x+8y+4=0平行.
∴设所求直线方程为3x+4y+b=0(b≠±2).
由题意得|2+2|5=|2-b|5,解得b=6.
4.解:∵P是两个交点的中点,∴两个交点关于点P对称.
设所求直线与直线x-3y+10=0的交点A的坐标为(x0,y0),则它与另始终线2x-y-8=0的交点B的坐标为(6-x0,4-y0).
∵点B(6-x0,4-y0)在直线2x-y-8=0上,
∴2(6-x0)-(4-y0)-8=0,即-2x0+y0=0,
解方程组x0-3y0+10=0,-2x0+y0=0,得x0=2,y0=4.
故所求直线方程为y-24-2=x-32-3,即2x+y-8=0.
全新视角拓展
①③⑤　①正确,比如直线y=x+3,当x取整数时,y始终是一个无理数;②错,直线y=2x-2中k与b都是无理数,但直线经过整点(1,0);③正确,当直线经过两个整点时,它经过很多多个整点;④错误,当k=0,b=12时,直线y=12不通过任何整点;⑤正确,比如直线y=2x-2只经过一个整点(1,0).故答案为①③⑤.
思维导图构建
　　斜率都相等　截距不相等