2021高中数学北师大版必修四导学案：《余弦函数的图像与性质》.docx

第6课时余弦函数的图像与性质1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简洁函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.假如函数y=cos(x3+)(0)的一条对称轴方程为x=94,那么值是不是也可仿照正弦函数的复合函数求法得出?在此条件下函数y=sin(2x-)(0x0,0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当x+=2+k时,即为对称中心;(2)当x+=k时,即为对称轴;(3)当x+-+2k,2k时,求得x属于的区间为区间;当x+2k,+2k时,求得x属于的区间为区间.(注:以上kZ)1.已知函数f(x)=sin(x-2)(xR),下面结论错误的是().A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间0,2上是增函数C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数2.y=1+cos x(x0,2)的图像与直线y=32的交点个数为().A.0B.1C.2D.33.对于余弦函数y=cos x的图像,有以下描述:向左、向右无限伸展;与y=sin x的外形完全一样,只是位置不同;与x轴有很多个交点;关于y轴对称.其中描述正确的是.4.求下列函数的最大值和最小值:(1)y=1-12cosx;(2)y=3+2cos(2x+3).作函数的图像用“五点法”画出函数y=2+3cos x在x0,2内的图像.余弦函数的图像与性质的应用(1)已知f(x)的定义域为0,1,求f(cos x)的定义域;(2)求函数y=lg sin(cos x)的定义域.余弦函数性质的综合运用是否存在实数a,使得函数y=sin2x+acos x+58a-32在闭区间0,2上的最大值是1?若存在,求出对应的a值;若不存在,试说明理由.画出函数y=1+|cos x|,x0,2的图像.已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,且f(12)=0,ABC的内角A满足f(cos A)0,求角A的取值范围. 已知-6x4,求函数y=log2(1+sin x)+log2(1-sin x)的最大值和最小值.1.若实数a使得方程cos x=a在0,2上有两个不相等的实数根x1,x2,则sin(x1+x2)等于().A.0 B.1 C.-12 D.-12.在0,2上,函数y=cos x与直线y=1围成的封闭图形的面积是().A.B.2C.3D.23.函数y=f(cos x)的定义域为2k-6,2k+23(kZ),则函数y=f(x)的定义域为.4.求函数y=2cosx-3的单调递增区间.(2011年全国大纲卷)设函数f(x)=cos x(0),将y=f(x)的图像向右平移3个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于().A.13B.3C.6D.9考题变式(我来改编):第6课时余弦函数的图像与性质学问体系梳理问题1:(1)左2(2)(0,1),(2,0),(,-1),(32,0),(2,1)问题2:(1)R(2)-1,1(3)-+2k,2k(kZ)2k,+2k(kZ)问题3:(1)2(3)x=k(4)(2+k,0)问题4:(1)(2k+1)-22,0)(2)x=k-(3)增减基础学习沟通1.Dy=sin(x-2)=-cos x,由余弦函数的性质可知A,B,C均正确,故选D.2.C作出y=1+cos x(x0,2)的图像,如图所示,直线y=32与函数有两个交点A、B,也可直接联立两函数方程得cos x=12(x0,2,易知x有两解.3.由函数y=cos x的图像可知都正确.4.解:(1)1-12cosx0,-1cosx1,-1cos x1.当cos x=-1时,ymax=62;当cos x=1时,ymin=22.(2)-1cos(2x+3)1,当cos(2x+3)=1时,ymax=5;当cos(2x+3)=-1时,ymin=1.重点难点探究探究一:【解析】x02322y=cos x10-101y=2+3cos x52-125如图所示:【小结】加强对比正弦、余弦函数五点法的区分及联系,留意所画图像要用光滑的曲线连接起来,不能画成直线.探究二:【解析】【解析】(1)由题意可知0cos x12k-2x2k+2(kZ),所求函数的定义域为x|2k-2x2k+2,kZ.(2)由sin(cos x)0得2kcos x2k+(kZ).又-1cos x1,0cos x1,解得2k-2x2k+2(kZ).故所求定义域为x|2k-2x2k+2,kZ.【小结】求三角函数的定义域时,通常转化为解三角不等式,其常用的方法有两种:一是图像法;二是三角函数线法.探究三:【解析】y=1-cos2x+acos x+58a-32=-(cos x-12a)2+a24+58a-12,当0x2时,0cos x1,当cos x=12a,且012a1,即1a2时,ymax=a24+58a-12=1,即2a2+5a-12=0,解得a1=32,a2=-41(舍去),a=32.存在a=32符合题设.问题以上解答过程完全吗?结论不完全,由于y有最大值时不肯定是cos x=12a;留意此处要对12a1三种状况进行争辩.于是,正确解答如下:y=1-cos2x+acos x+58a-32=-(cos x-a2)2+a24+58a-12,又0x2,0cos x1.若a21,即a2,则当cos x=1时,ymax=a+58a-32=1a=20212(舍去);若0a21,即0a2,则当cos x=a2时,ymax=a24+58a-12=1a=32或a=-40(舍去);若a20,即a0(舍去).综上可知,存在a=32符合题设.【小结】三角函数换元成二次函数是一个关键点,换元之后要留意新的变量的取值范围.思维拓展应用应用一:可用五点法画出图像.(1)列表:x02322y21212(2)描点画图(如图所示)y=1+|cos x|,x0,2的图像实质是将y=cos x,x0,2的图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方(x轴上方部分不变),再向上平移1个单位长度而得到.应用二:当0A0.f(cos A)0=f(12),又f(x)在(0,+)上为递增函数,得cos A12,解得3A2.当2A时,cos A0,f(cos A)0=f(-12),又f(x)为R上奇函数,f(x)在(-,0)上也为递增函数,可得cos A-12,23A0和1-sin x0恒成立,原函数可化为y=log2(1-sin2x)=log2cos2x,又cos x0在-6,4上恒成立,原函数可化为y=2log2cos x,当x-6,4时,22cos x1.2log2222log2cos x2log21,即-1y0,故在-6,4上,ymax=0,ymin=-1.基础智能检测1.A画出y1=cos x,y2=a在0,2上的图像,得两交点必关于直线x=对称,x1+x22=,即x1+x2=2,sin(x1+x2)=0.2.B如图,设矩形ABCD的面积为S,则S=4,由图像的对称性可知,S1=S2=S3=S4,所求封闭图形的面积为12S=2.3.-12,1由于2k-6x2k+23(kZ),所以-12cos x1,所以y=f(x)的定义域为-12,1.4.解:由2cos x-30,得cos x32,即2k-6x2k+6(kZ),又y=cos x的单调递增区间为2k-x2k(kZ),函数y=2cosx-3的单调递增区间是x|2k-6x2k,kZ.全新视角拓展C将y=f(x)的图像向右平移3个单位长度后得y=cos(x-3)的图像,由于y=cos(x-3)与y=f(x)的图像重合,因而有3=2k(kN+),所以的最小值等于6.故选C.思维导图构建五点法(2+k,0)(kZ)x=k(kZ)2k-,2k(kZ)2k,2k+(kZ)偶函数