2021高中数学北师大版必修四导学案：《余弦函数的图像与性质》.docx

第6课时　余弦函数的图像与性质

1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.
2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.
3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.
4.会求简洁函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.

假如函数y=cos(x3+φ)(0<φ<π)的一条对称轴方程为x=9π4,那么φ值是不是也可仿照正弦函数的复合函数求法得出?在此条件下函数y=sin(2x-φ)(0≤x<π)的单调增区间为多少呢?

问题1:余弦函数的图像的作法
(1)平移法:
余弦函数y=cos x的图像可以通过将正弦曲线y=sin x的图像向　　　平移　　　　个单位长度得到(如图). 

(2)五点法:
余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 
问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间
(1)定义域为　　　　;(2)值域为　　　　　　;(3)单调增区间为　　　　　　　　　　　　　,减区间为　　　　　　　　. 
问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心
(1)周期T=　　　　　;(2)偶函数;(3)对称轴为　　　　　　; 
(4)对称中心为　　　　　　　　　　　. 
问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中心和单调区间
(1)当ωx+φ=π2+kπ时,即　　　　　　　　为对称中心; 
(2)当ωx+φ=kπ时,即　　　　　　　　为对称轴; 
(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为　　　　区间;当ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x属于的区间为　　　　区间.(注:以上k∈Z) 

1.已知函数f(x)=sin(x-π2)(x∈R),下面结论错误的是(　　).
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数
C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
2.y=1+cos x(x∈0,2π)的图像与直线y=32的交点个数为(　　).
A.0　　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.3
3.对于余弦函数y=cos x的图像,有以下描述:
①向左、向右无限伸展;②与y=sin x的外形完全一样,只是位置不同;③与x轴有很多个交点;④关于y轴对称.其中描述正确的是　　　　. 
4.求下列函数的最大值和最小值:
(1)y=1-12cosx;(2)y=3+2cos(2x+π3).

作函数的图像
用“五点法”画出函数y=2+3cos x在x∈[0,2π]内的图像.

余弦函数的图像与性质的应用
(1)已知f(x)的定义域为[0,1],求f(cos x)的定义域;
(2)求函数y=lg sin(cos x)的定义域.

余弦函数性质的综合运用
是否存在实数a,使得函数y=sin2x+acos x+58a-32在闭区间[0,π2]上的最大值是1?若存在,求出对应的a值;若不存在,试说明理由.

画出函数y=1+|cos x|,x∈[0,2π]的图像.

已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f(12)=0,△ABC的内角A满足f(cos A)≤0,求角A的取值范围.

已知-π6≤x≤π4,求函数y=log2(1+sin x)+log2(1-sin x)的最大值和最小值.

1.若实数a使得方程cos x=a在[0,2π]上有两个不相等的实数根x1,x2,则sin(x1+x2)等于(　　).
A.0　　 　 B.1　　 　 C.-12　　 　 D.-1
2.在[0,2π]上,函数y=cos x与直线y=1围成的封闭图形的面积是(　　).
A.π B.2π C.3π D.π2
3.函数y=f(cos x)的定义域为[2kπ-π6,2kπ+2π3](k∈Z),则函数y=f(x)的定义域为　　　　　. 
4.求函数y=2cosx-3的单调递增区间.

(2011年·全国大纲卷)设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图像向右平移π3个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于(　　).
A.13 B.3　　　 C.6 D.9
　　考题变式(我来改编):

第6课时　余弦函数的图像与性质

学问体系梳理
问题1:(1)左　π2　(2)(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(2π,1)
问题2:(1)R　(2)[-1,1]　(3)[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)
[2kπ,π+2kπ](k∈Z)
问题3:(1)2π　(3)x=kπ　(4)(π2+kπ,0)　
问题4:(1)((2k+1)π-2φ2ω,0)　(2)x=kπ-φω　(3)增　减
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1.D　y=sin(x-π2)=-cos x,由余弦函数的性质可知A,B,C均正确,故选D.
2.C　作出y=1+cos x(x∈0,2π)的图像,如图所示,直线y=32与函数有两个交点A、B,也可直接联立两函数方程得cos x=12(x∈[0,2π],易知x有两解.

3.①②③④　由函数y=cos x的图像可知①②③④都正确.
4.解:(1)∵1-12cosx≥0,-1≤cosx≤1,∴-1≤cos x≤1.
∴当cos x=-1时,ymax=62;
当cos x=1时,ymin=22.
(2)∵-1≤cos(2x+π3)≤1,
∴当cos(2x+π3)=1时,ymax=5;
当cos(2x+π3)=-1时,ymin=1.
重点难点探究
探究一:【解析】
x
0
π2
π
3π2
2π
y=cos x
1
0
-1
0
1
y=2+3cos x
5
2
-1
2
5

　　如图所示:

【小结】加强对比正弦、余弦函数五点法的区分及联系,留意所画图像要用光滑的曲线连接起来,不能画成直线.

　　探究二:【解析】【解析】(1)由题意可知0≤cos x≤1⇒2kπ-π2≤x≤2kπ+π2(k∈Z),
∴所求函数的定义域为{x|2kπ-π2≤x≤2kπ+π2,k∈Z}.
(2)由sin(cos x)>0得2kπ<cos x<2kπ+π(k∈Z).
又∵-1≤cos x≤1,∴0<cos x≤1,解得2kπ-π2<x<2kπ+π2(k∈Z).
故所求定义域为{x|2kπ-π2<x<2kπ+π2,k∈Z}.
【小结】求三角函数的定义域时,通常转化为解三角不等式,其常用的方法有两种:一是图像法;二是三角函数线法.
　　探究三:【解析】y=1-cos2x+acos x+58a-32
=-(cos x-12a)2+a24+58a-12,
当0≤x≤π2时,0≤cos x≤1,∴当cos x=12a,且0≤12a≤1,即1≤a≤2时,ymax=a24+58a-12=1,即2a2+5a-12=0,解得a1=32,a2=-4<1(舍去),∴a=32.
∴存在a=32符合题设.
[问题]以上解答过程完全吗?
[结论]不完全,由于y有最大值时不肯定是cos x=12a;留意此处要对12a<0、0≤12a≤1、12a>1三种状况进行争辩.
于是,正确解答如下:
y=1-cos2x+acos x+58a-32=-(cos x-a2)2+a24+58a-12,
又0≤x≤π2,∴0≤cos x≤1.
若a2>1,即a>2,则当cos x=1时,ymax=a+58a-32=1⇒a=2021<2(舍去);
若0≤a2≤1,即0≤a≤2,则当cos x=a2时,ymax=a24+58a-12=1⇒a=32或a=-4<0(舍去);
若a2<0,即a<0,则当cos x=0时,ymax=58a-12=1⇒a=125>0(舍去).
综上可知,存在a=32符合题设.
【小结】三角函数换元成二次函数是一个关键点,换元之后要留意新的变量的取值范围.
思维拓展应用
应用一:可用五点法画出图像.
(1)列表:
x
0
π2
π
3π2
2π
y
2
1
2
1
2

　　(2)描点画图(如图所示)

y=1+|cos x|,x∈[0,2π]的图像实质是将y=cos x,x∈[0,2π]的图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方(x轴上方部分不变),再向上平移1个单位长度而得到.
　　应用二:①当0<A<π2时,cos A>0.
∵f(cos A)≤0=f(12),又f(x)在(0,+∞)上为递增函数,得cos A≤12,解得π3≤A<π2.
②当π2<A<π时,cos A<0,
∵f(cos A)≤0=f(-12),又f(x)为R上奇函数,
∴f(x)在(-∞,0)上也为递增函数,可得cos A≤-12,
∴2π3≤A<π.
③当A=π2时,cos A=0,∴f(0)≤0也成立(f(0)=0),
综上所述,角A的取值范围是[π3,π2]∪[2π3,π).
　　应用三:当x∈[-π6,π4]时,1+sin x>0和1-sin x>0恒成立,
∴原函数可化为y=log2(1-sin2x)=log2cos2x,
又cos x>0在[-π6,π4]上恒成立,
∴原函数可化为y=2log2cos x,
当x∈[-π6,π4]时,22≤cos x≤1.
∴2log222≤2log2cos x≤2log21,即-1≤y≤0,
故在[-π6,π4]上,ymax=0,ymin=-1.
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1.A　画出y1=cos x,y2=a在[0,2π]上的图像,得两交点必关于直线x=π对称,∴x1+x22=π,即x1+x2=2π,∴sin(x1+x2)=0.
2.B　如图,设矩形ABCD的面积为S,则S=4π,

由图像的对称性可知,S1=S2=S3=S4,∴所求封闭图形的面积为12S=2π.
3.[-12,1]　由于2kπ-π6≤x≤2kπ+2π3(k∈Z),所以-12≤cos x≤1,所以y=f(x)的定义域为[-12,1].
4.解:由2cos x-3≥0,得cos x≥32,
即2kπ-π6≤x≤2kπ+π6(k∈Z),
又y=cos x的单调递增区间为2kπ-π≤x≤2kπ(k∈Z),
∴函数y=2cosx-3的单调递增区间是{x|2kπ-π6≤x≤2kπ,k∈Z}.
全新视角拓展
C　将y=f(x)的图像向右平移π3个单位长度后得y=cosω(x-π3)的图像,由于y=cosω(x-π3)与y=f(x)的图像重合,因而有ωπ3=2kπ(k∈N+),所以ω的最小值等于6.故选C.
思维导图构建
五点法　(π2+kπ,0)(k∈Z)　x=kπ(k∈Z)　[2kπ-π,2kπ](k∈Z)　[2kπ,2kπ+π](k∈Z)　偶函数