2021高中数学北师大版必修四导学案：《任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性》.docx

第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.2.把握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.把握特殊角的正弦、余弦函数值.3.理解并把握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.4.了解周期函数的定义,并能简洁应用.在学校由于学习的学问不够深化和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义明显不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角,它的终边与圆交于点P(a,b),则比值br叫作角的,记作:sin =br;比值ar叫作角的,记作:cos =ar,r=.当r=1时,任意角的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b),点P的纵坐标b是的函数,称为函数,记作:;点P的横坐标a是的函数,称为余弦函数,记作:.通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为,余弦函数值有时也叫余弦值.问题2:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值,即若=+2k(kZ),则sin sin ,cos cos .问题3:正、余弦函数值的符号(1)表格表示象限三角函数第一象限其次象限第三象限第四象限sin cos 问题4:周期函数的有关概念(1)一般地,对于函数f(x),假如存在常数T,对定义域内的任意一个x值,都有 ,我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的.(2)正弦函数、余弦函数是周期函数,为正弦函数、余弦函数的周期.如-2,2,4等都是它们的周期.其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为.1.若sin 0,则的终边(不含端点)在().A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限2.已知角的终边经过点(-6,8),则cos 的值为().A.-35B.35C.-45D.453.若点P在角23的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是.4.在时钟钟面上,分针从如图位置开头顺时针走动,当分针走过1125时,求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A到OA的距离,设分针长为r cm).推断正弦、余弦函数值的符号推断下列各式的符号.(1)cos(-345);(2)sin 175 cos 248.周期函数的证明已知f(x+2)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.利用正弦函数、余弦函数的定义求值已知角的终边在直线y=-34x上,求cos -1sin的值.若角的终边落在直线y=-x上,求sin|cos|+|sin|cos的值.若函数f(x)是以2为周期的奇函数,且f(3)=1,求f(-116)的值. 已知角的终边经过点P(x,-2) (x0),且cos =36x,求sin +cossin的值. 1.sin2120等于().A.32B.32C.-32D.122.已知cos sin 0,那么角是().A.第一或其次象限角B.其次或第三象限角C.其次或第四象限角D.第一或第四象限角3.求下列式子的值:(1)sin132=;(2)cos 405=.4.已知函数f(x)在其定义域上都有f(x+1)=-1f(x),求证:f(x)是以2为周期的周期函数.(2011年江西卷)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角终边上一点,且sin =-255,则y=.考题变式(我来改编):第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性学问体系梳理问题1:正弦余弦a2+b2角正弦y=sin (R)角y=cos (R)y=sin x(xR)y=cos x(xR)问题2:相同相同=问题3:正正负负正负负正问题4:(1)非零f(x+T)=f(x)周期(2)2k(kZ,k0)最小正周期基础学习沟通1.Dsin 0,可知在第一、四象限及x轴的正半轴上,故在第四象限.2.Acos =xx2+y2=-636+64=-35.3.(-1,3)x=|OP|cos 23=2(-12)=-1,y=|OP|sin 23=3.点P的坐标为(-1,3).4.解:1125=3603+45,d=rsin 45=22r(cm).重点难点探究探究一:【解析】(1)-345=-360+15是第一象限角,cos(-345)0.(2)175是其次象限角,248是第三象限角,sin 1750,cos 2480,sin 175 cos 2480)进行分类争辩.于是,正确解答如下:在角的终边上取一点P1(4,-3).则r=|OP1|=x2+y2=42+(-3)2=5.于是sin =yr=-35,cos =xr=45,cos -1sin=3715.在角的终边上取一点P2(-4,3).则r=|OP2|=x2+y2=(-4)2+32=5.于是sin =yr=35,cos =xr=-45,cos -1sin=-45-53=-3715.综上,cos -1sin的值为3715或-3715.【小结】(1)在角的终边上取点,利用定义求sin ,cos ;(2)若终边落在直线上,则需分两种状况争辩.思维拓展应用应用一:当的终边落在其次象限时,sincos+sincos=sin-cos+sincos=0;当的终边落在第四象限时,sincos+sincos=sincos+-sincos=0.sin|cos|+|sin|cos=0.应用二:f(x)是以2为周期的奇函数,f(-116)=-f(116)=-f(312+3)=-f(3)=-1.应用三:P(x,-2)(x0),点P到原点的距离r=x2+2.又cos =36x,cos =xx2+2=36x.x0,x=10,r=23.当x=10时,P点的坐标为(10,-2),由三角函数的定义,有sin =-223=-66,cossin=10-2=-5,sin +cossin=-66-5=-65+66;当x=-10时,同理,可求得sin +cossin=65-66.基础智能检测1.Bsin2120=|sin 120|=32.2.C若cos 0,sin 0,则在第四象限;若cos 0,则在其次象限.故选C.3.(1)1(2)22(1)sin132=sin(2+6)=sin2=1.(2)cos 405=cos(45+360)=cos 45=22.4.解:f(x+2)=-1f(x+1)=-1-1f(x)=f(x),即f(x+2)=f(x).由周期函数的定义可知:函数f(x)是以2为周期的周期函数.全新视角拓展-8r=x2+y2=16+y2,且sin =-255,所以sin =yr=y16+y2=-255,则y=-8.思维导图构建f(x+T)=f(x)