资源描述
第9课时 二次函数的图像与性质的应用
1.能娴熟地对二次函数解析式配方,争辩其定义域、值域、单调性、最值等.
2.把握二次函数的性质,并会对参数进行争辩.
3.进一步体会数形结合思想的作用.
在上节课我们共同学习了二次函数的解析式以及a打算开口方向和开口大小等性质,对于图像,我们知道了描点法和图像变换法,这节课我们来进一步争辩二次函数的图像和性质,结合二次函数的图像,利用数形结合法解有关二次函数的最值问题,是本节学问的重点和难点,也是高考的热点问题.
问题1:将二次函数的一般式f(x)=ax2+bx+c配为顶点式: ,所以对称轴为 ,顶点坐标为 .
问题2:对于二次函数y=ax2+bx+c.
当a>0时,它的图像开口向上, f(x)在 上是单调递减的,在 上是单调递增的;当x=-b2a时,函数取得最小值 .
当a<0时,它的图像开口 ,f(x)在 上是单调递增的,在 上是单调递减的;当x=-b2a时,函数取得最大值 .
问题3:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最值可能消灭以下三种状况:
(1)若-b2a<p,则f(x)在区间[p,q]上是增函数,则f(x)min= ,f(x)max= .
(2)若p≤-b2a≤q,则f(x)min= ,此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定.
(3)若-b2a≥q,则f(x)在区间[p,q]上是减函数,则f(x)min= ,f(x)max= .
由此可见,当-b2a∈[p,q]时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的较大值,最小值是f(-b2a);当-b2a∉[p,q]时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的较大值,最小值是f(p)和f(q)中的较小值.
问题4:解决函数应用问题的一般步骤:
(1) :弄清题意,分清条件和结论,理清数量关系;
(2) :将文字语言转化为数学语言,利用数学学问建立相应的数学模型;
(3) :求解数学模型,得到数学结论;
(4) :将用数学方法得到的结论还原为实际问题.
1.已知二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x),且f(x)=0有两个实根x1,x2, 则x1+x2等于( ).
A.0 B.3 C.6 D. 不能确定
2.把长为12厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ).
A.323 cm2 B.4 cm2 C.32 cm2 D.23 cm2
3.设m∈R,x1,x2是方程x2-2mx+1-m2=0两个实数根,则x12+x22的最小值是 .
4.某超市为了猎取最大利润做了一次试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售,则每天可销售60件,现在接受提高销售价格削减进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要削减10件,问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润?并求出最大利润.
二次函数的图像与性质
将函数y=-13x2-x+1配方,确定其图像对称轴、顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像.
二次函数在闭区间上的最值
已知二次函数f(x)=x2-2x+3.
(1)当x∈[-2,0]时,求f(x)的最值;
(2)当x∈[-2,3)时,求f(x)的最值.
二次函数在实际中的应用
如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,AB宽20 m,水位上升到警戒线CD时,CD到拱桥顶O的距离仅为1 m,这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式;
(2)若洪水到来时,水位以每小时0.3 m的速度上升,从正常水位开头,持续多少小时到达警戒线?
已知二次函数f(x)=-x2+bx+c对于任意x都满足f(1-x)=f(1+x).
(1)求实数b的值;
(2)比较f(-m2-m-1)与f(14)的大小.
已知二次函数f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).
经市场调查,商品在近100天内,日销售量和价格均为时间t的函数,且日销售量近似的满足关系g(t)=-13t+1093(t∈N,0≤t≤100),在前40天里价格为f(t)=14t+22(t∈N,0≤t≤40);在后60天里价格为f(t)=-12t+52(t∈N,40<t≤100).求这种商品的日销售额的最大值(近似到元).
1.如图所示,二次函数y=x2-3x+2的图像交x轴于A,B两点,交y轴于C点,则三角形ABC的面积为( ).
A.6 B.4
C.1 D.2
2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=x2+bx+c的图像过点(1,0)……求证这个二次函数的图像关于直线x=2对称.依据已有信息,题中的二次函数图像不具有的性质是( ).
A.过点(3,0) B.顶点是(2,-2)
C.在x轴上截得的线段的长是2 D.与y轴的交点是(0,3)
3.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图像的对称轴为直线x=2,则下列关系:①f(π-2)=f(π);②f(π2)>f(π);③f(22)>f(π).④f(22)=f(π),正确的是 .
4.已知二次函数y=f(x)的对称轴是x=2,其图像顶点为A,并且与x轴交于B,C两点,B点坐标为(-1,0),三角形ABC的面积为18,求f(x) .
(2021年·辽宁卷)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( ).
A.16 B.-16 C.a2-2a-16 D.a2+2a-16
考题变式(我来改编):
答案
第9课时 二次函数的图像与性质的应用
学问体系梳理
问题1:f(x)=a(x+b2a)2+4ac-b24a x=-b2a (-b2a,4ac-b24a)
问题2:(-∞,-b2a] [-b2a,+∞) 4ac-b24a 向下 (-∞,-b2a] [-b2a,+∞) 4ac-b24a
问题3:(1)f(p) f(q) (2)f(-b2a) (3)f(q) f(p)
问题4:(1)审题 (2)建模 (3)求模 (4)还原
基础学习沟通
1.C f(3+x)=f(3-x)知其图像的对称轴为x=-b2a=3,又由韦达定理知x1+x2=-ba=6.
2.D 设一个三角形的边长为x cm,则另一个三角形的边长为(4-x) cm,两个三角形的面积和为S,则S=34x2+34(4-x)2=32(x-2)2+23≥23.
当x=2时,S取最小值23 m2.故选D.
3.1 由Δ=(-2m)2-4(1-m2)≥0,解得m2≥12,
又x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2(1-m2)=6m2-2≥1.
4.解:设商品售价定为x元时,利润为y元,则
y=(x-8)[60-(x-10)·10]
=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10≤x≤16).
当且仅当x=12时,y有最大值160元,
即售价定为12元时,可获最大利润160元.
重点难点探究
探究一:【解析】y=-13(x+32)2+74,对称轴x=-32,顶点坐标(-32,74),
函数在区间(-∞,-32]上是单调递增的,在区间[-32,+∞)上是单调递减的,函数的最大值为74,没有最小值.图像如图所示:
【小结】依据配方后得到的表达式画图,可直接推断出函数的单调性及最值.
探究二:【解析】∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,其对称轴为x=1,开口向上.
(1)当x∈[-2,0]时,f(x)在[-2,0]上是单调递减的,故当x=-2时,f(x)有最大值f(-2)=11;
当x=0时,f(x)有最小值f(0)=3.
(2)当x∈[-2,3)时,f(x)在[-2,3)上是先减后增的,故当x=1时,f(x)有最小值f(1)=2.
又|-2-1|>|3-1|,
∴f(x)的最大值为f(-2)=11.
【小结】对于“轴定,区间定”的二次函数问题,解答时直接利用二次函数的单调性解题;对于“轴定,区间动”的二次函数问题,解答时可以直接利用图像与二次函数单调性解题;重在用分类争辩的思想分析轴与区间的关系.
探究三:【解析】(1)设所求抛物线的解析式为y=ax2(a≠0),
∵CD=10 m,CD到拱桥顶O的距离仅为1 m,
则C点坐标为(-5,-1),把C点坐标代入y=ax2,解得a=-125,
故抛物线的解析式为y=-125x2.
(2)∵AB宽为20 m,
∴设A(-10,b),
把A点坐标代入抛物线的解析式y=-125x2中,
解得b=-4,∴F(0,-4),∴EF=3,
∵水位以每小时0.3 m的速度上升,∴3÷0.3=10(小时),
答:从正常水位开头,持续10小时到达警戒线.
【小结】本题把实际问题转化为数学问题,即转化为点的坐标及函数解析式,应当留意点所在的象限,也就是点的坐标的符号.
思维拓展应用
应用一:(1)由f(1-x)=f(1+x)知二次函数的对称轴为直线x=1,即-b2×(-1)=1,解得b=2;
(2)-m2-m-1=-(m+12)2-34≤-34<14,又f(x)在(-∞,1]上是增函数,
所以f(-m2-m-1)<f(14).
应用二:①当t>1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
所以当x=t时,f(x)取得最小值,
此时,g(t)=f(t)=t2-2t+3;
②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,
f(x)在区间[t,t+1]上先减后增,
故当x=1时,f(x)取得最小值,
此时,g(t)=f(1)=2;
③当t+1<1,即t<0时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
所以当x=t+1时,f(x)取得最小值,
此时,g(t)=f(t+1)=t2+2;
综上得g(t)=t2-2t+3(t>1),2(0≤t≤1),t2+2(t<0).
应用三:设前40天内日销售额为S,则S=(14t+22)•(-13t+1093)=-112t2+74t+23983,
∴S=-112(t-10.5)2+23983+14716,
当t=10或t=11时,Smax=808.5≈809,
设后60天内日销售额为P,则P=(-12t+52)•(-13t+1093)=16t2-2136t+56683,
∴P=16(t-106.5)2-2524,∵40<t≤100,∴当t=41时,P有最大值,
Pmax=16×(1312)2-2524=714.
则日销售额的最大值为809元.
基础智能检测
1.C 如图可知A(1,0),B(2,0),C(0,2),又S=12×|AB|×yc=12×1×2=1,故选C.
2.B 由二次函数的图像关于直线x=2对称得-b2=2,b=-4,再将点(1,0)代入可得c=3,然后画出二次函数的草图即可求解.
3.③ 2-22>π-2.由图像可知f(22)>f(π).
4.解:∵二次函数f(x)的对称轴是x=2, 又∵B点坐标为(-1,0),
∴C点坐标为(5,0),
∴|BC|=6.
∵△ABC面积为18,即12|BC||m|=18,∴ m=±6,即A点坐标为(2,±6),
∴f(x)=a(x+1)(x-5),
将A点坐标(2,±6)代人上述式子,可得a=±23,
∴f(x)=±23(x+1)(x-5),
即f(x)=±23(x2-4x-5).
全新视角拓展
B 函数f(x)和g(x)的图像一个是开口向上的抛物线,一个是开口向下的抛物线,两个函数图像相交,则A必是两个函数图像交点中较低的点的纵坐标,B是两个函数图像交点中较高的点的纵坐标.令x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,解得x=a+2或x=a-2,当x=a+2时,由于函数f(x)的对称轴为x=a+2,故可推断A=f(a+2)=-4a-4.B=f(a-2)=-4a+12,所以A-B=-16.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
