2021高中数学北师大版必修四导学案：《向量的加法与减法》.docx

第2课时　向量的加法与减法

1.理解向量加法的含义,把握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算.
2.把握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系.
3.经受向量的概念、法则的建构过程,通过观看、试验、类比、归纳等方法培育同学发觉问题、分析问题、解决问题的力量.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用力量.

长江两岸之间没有大桥的地方,经常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸动身,以大小为v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v2(v1>v2),那么船的实际速度的大小和方向怎么求呢?

问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算.
　　　　　　　的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称　　　　　); 
长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a与　　　　　互为相反向量,-(-a)=　　　　; 
零向量的相反向量是　　　　　; 
任一向量与它的相反向量的和是　　　　　,a+(-a)=　　　　　; 
假如a、b互为相反向量,则a=　　　　　,b=　　　　　,a+b=　　　　; 
向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+　　　　　　 ,求两个向量差的运算叫作向量的　　　　. 
问题2:向量加法法则.
(1)三角形法则

如图,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,连接AC,则AC=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的有向线段.
(2)平行四边形法则
如图,在平面内任取一点A,作AB=a,AD=b,以AB、AD为边作平行四边形

ABCD,连接AC,则　　　　　　　.这种求向量和的方法,叫向量加法的平行四边形法则. 
问题3:实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法是否也满足?
(1)交换律:a+b=　　　　　　;(2)结合律:(a+b)+c=a+　　　　　=a+b+c. 
　　问题4:向量减法法则.
若向量a与b有相同的起点,则a-b可以表示为从向量b的　　　　　向量a的终点的向量. 
(1)三角形法则

如图,作OA=a,OB=b,则BA=　　　　　　,即把两个向量的起点放在一起,这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的　　　　点为终点的向量. 
(2)平行四边形法则
如图,作OA=a,OB=b,以OA、OB为边作平行四边形OACB,连接

BA,则BA=a-b.
从图中可以看出,一个向量减去另一个向量,等于此向量加上另一个向量的相反向量.
(3)留意问题:①两个向量的差是一个向量,当两个向量不相等时,相减得到的向量的方向指向被减向量,当两个向量相等时,差为零向量,方向是任意的;②向量减法的实质是加法的逆运算,依据相反向量的定义,AB=-BA,就可以把减法化为加法,用三角形法则作向量减法时,只要记住连接两向量终点,箭头指向被减向量即可;③以向量AB=a,AD=b为邻边作平行四边形ABCD,则AC=　　　　　,BD=　　　　　　. 

1.若向量a表示向东走1 km,向量b表示向南走1 km,则向量a+b表示(　　).
A.向东南走2 km B.向东南走2 km
C.向东北走2 km D.向东北走2 km
2.化简PM-PN+MN的结果(　　).
A.MP　　 B.NP C.0　　 D.MN
3.在矩形ABCD中,若|AB|=3,|BC|=4,则|AB+AD|=　　　　. 
4.如图,已知不共线的向量a,b,求作向量a+b,a-b.

向量的加、减运算
化简:(AB-CD)-(AC-BD).

向量的三角形法则与平行四边形法则的运用
已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,若AB=a,BC=b,OD=c,证明:c+a-b=OB.

与零向量有关的问题
若向量满足关系式|a+b|=|a-b|,则下列结论中正确的是(　　).
A.以a,b为邻边的四边形是矩形
B.a,b中至少有一个零向量或a⊥b
C.a,b中至少有一个零向量
D.a,b均为零向量

化简下列各式:①AB+BC+CA;②OA-OD+AD;③AB+CA-BD-CD;④MN+QP-MP+NQ.结果为零向量的序号是　　　. 

如图,在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.
(1)用a、b表示向量AC,DB.
(2)当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?
(3)当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?

(1)已知O是四边形ABCD内的一点,若OA+OB+OC+OD=0,则下列结论中正确的是(　　).
A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心
B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点
C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
(2)若向量a,b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为　　　　,|a-b|的最大值为　　　　. 

1.在△ABC中,BC=a,CA=b,则AB等于(　　).
A.a+b　　　 B.a-b　　　 C.-a-b　　　 D.b-a
2.下面四个式子中不能化简到AD的是(　　).
A.MB-DA-BM B.NC-NA+CD
C.(AD-BM)+(BC-MC) D.(AB-DC)+BC
3.在△ABC中,|AB|=|BC|=|CA|=1,则|AB-AC|的值为　　　　. 
4.化简(AB-CD)+(BE-DE).

(2021年·广东卷)设a是已知的平面对量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:
①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;
②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;
③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc.
④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.
上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
　　考题变式(我来改编):

答案
第2课时　向量的加法与减法

学问体系梳理
问题1:求两个向量的和　和向量　-a　a　零向量　零向量　0　-b　-a　0　(-b)　减法
问题2:AC=a+b
问题3:(1)b+a　(2)(b+c)
问题4:终点指向　(1)a-b　终　(2)a+b　b-a
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1.A　依据三角形或平行四边形法则,可知向量a+b表示向东南走2 km.
2.C　PM-PN+MN=NM+MN=0.
3.5　由题意,可知AB+AD=AC,|AC|=AB2+BC2=32+42=5.
4.解:(法一)如图,设a=AB,b=CD,过点B作BE=CD=b,则依据向量加法的三角形法则可得AE=AB+BE=a+b.
在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=OA-OB=a-b.

(法二)如图,设a=AB,过点A作AF=CD=b,再依据向量加法的平行四边形法则,可得以AB、AF为邻边作出平行四边形的对角线AE=a+b,设a=OA,过点O作OB=b,OB'=-b,依据向量的平行四边形法则,可得以OA、OB'为边作出平行四边形的对角线OC=a+(-b)=a-b.

重点难点探究
探究一:【解析】(法一)(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0.
(法二) (AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD
=(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0.
(法三)设O为平面内任意一点,
则有(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD
=(OB-OA)-(OD-OC)-(OC-OA)+(OD-OB)
=OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=0.
【小结】在化简向量时可以利用三角形法则或平行四边形法则,特殊是当含有减法时,可以从不同的角度来考虑:①利用相反向量,可将减法看成加法的逆运算进行求解;②把需要化简的两个向量化成起点相同的向量,再利用三角形法则或平行四边形法则进行化简;③将全部的向量都化成是同一个起点的向量,再进行化简.
　　探究二:【解析】(法一)c+a=OD+AB=OD+DC=OC,OB+b=OB+BC=OC,
∴c+a=OB+b,即c+a-b=OB.
(法二)c+a-b=OD+AB-BC=OD+AB+CB.
在平行四边形ABCD中,∵AB=DC,CB=DA,
∴AB+CB=DC+DA=DB.
∴c+a-b=OD+DB=OB.
【小结】充分利用向量加法的定义和三角形法则,结合平行四边形本身的特点,将一些不能明显做加、减运算的向量进行化简,是解决本题的关键,同时也要留意证明问题的方法.
　　探究三:【解析】当a,b均为非零向量时,由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知,a+b与a-b分别是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线,由|a+b|=|a-b|知,这个平行四边形的对角线长度相等,故以a,b为邻边的平行四边形是矩形,则a⊥b.
[问题]a,b肯定是非零向量吗?
[结论]a,b不肯定是非零向量,故要考虑a,b为零向量时的情形,因此,正确选项是B.
【答案】B
思维拓展应用
应用一:①②④　①AB+BC+CA=AC+CA=0;
②OA-OD+AD=DA+AD=0;
③AB+CA-BD-CD=CA+AB-BD-CD=CB-BD-CD=CB-CD-BD=DB-BD=2DB;
④MN+QP-MP+NQ=MN+NQ+QP-MP=MQ+QP-MP=MP-MP=0.
　　应用二:(1)AC=a+b,DB=a-b.
(2)若a+b与a-b垂直,即平行四边形的两条对角线相互垂直,则平行四边形为菱形,故a、b应满足|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|表示平行四边形的两条对角线的长度相等,所以平行四边形为矩形,故a、b应满足a⊥b.
　　应用三:(1)D　(2)4　20　(1)假如四边形ABCD为正方形,点O是四边形ABCD的中心,则必有OA+OB+OC+OD=0,但是反过来由OA+OB+OC+OD=0,却推不出四边形ABCD为正方形,点O也就可能不是四边形ABCD的中心,结合图形并可通过举反例逐个排解,正确的只有D.
(2)设a=AB,b=AC,则当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|,|a-b|=||a|-|b||.
当a与b反向时,|a+b|=||a|-|b||,|a-b|=|a|+|b|.

当a与b不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|,如图所示.因此,当a与b共线且反向时,|a+b|取得最小值,且为12-8=4;当a与b共线且反向时,|a-b|取得最大值,且为12+8=20.
基础智能检测
1.C　AB=CB-CA=-a-b.
2.A　对于A,MB-DA-BM=MB+AD+MB=2MB+AD.对于B,NC-NA+CD=AC+CD=AD.对于C,(AD-BM)+(BC-MC)=AD-BM+BC-MC=AD+(MB+BC)+CM=AD+MC+CM=AD.对于D,(AB-DC)+BC=AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.故选A.
3.1　在△ABC中,由AB-AC=CB,|AB-AC|=|CB|=1.
4.解:(AB-CD)+(BE-DE)=AB-CD+BE-DE
=(AB+BE)-(CD+DE)=AE-CE
=AC.
全新视角拓展
B　命题①正确,由于对于非零向量a,任意给定向量b,均存在a-b,即存在向量c;利用平面对量基本定理易知命题②正确;命题③不正确,若|a|=2,给定的单位向量b满足a·b=0,μ=1时,对任意的λ,c恒有|a-λb|=2+λ2≥2,|μc|=1,即a-λb=μc,不行能成立;命题④不正确,若|a|=3,λ=μ=1,则不存在单位向量b,c满足a=λb+μc,由于|λb+μc|≤λ+μ=2,所以a≠λb+μc.
思维导图构建
三角形法则　平行四边形法则　(a+b)+c=a+(b+c)
a+b=b+a　三角形法则　平行四边形法则