2021高中数学北师大版必修四导学案：《向量的加法与减法》.docx

第2课时向量的加法与减法1.理解向量加法的含义,把握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算.2.把握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系.3.经受向量的概念、法则的建构过程,通过观看、试验、类比、归纳等方法培育同学发觉问题、分析问题、解决问题的力量.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用力量.长江两岸之间没有大桥的地方,经常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸动身,以大小为v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v2(v1v2),那么船的实际速度的大小和方向怎么求呢?问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算.的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称);长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a与互为相反向量,-(-a)=;零向量的相反向量是;任一向量与它的相反向量的和是,a+(-a)=;假如a、b互为相反向量,则a=,b=,a+b=;向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+ ,求两个向量差的运算叫作向量的.问题2:向量加法法则.(1)三角形法则如图,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,连接AC,则AC=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的有向线段.(2)平行四边形法则如图,在平面内任取一点A,作AB=a,AD=b,以AB、AD为边作平行四边形ABCD,连接AC,则.这种求向量和的方法,叫向量加法的平行四边形法则.问题3:实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法是否也满足?(1)交换律:a+b=;(2)结合律:(a+b)+c=a+=a+b+c.问题4:向量减法法则.若向量a与b有相同的起点,则a-b可以表示为从向量b的向量a的终点的向量.(1)三角形法则如图,作OA=a,OB=b,则BA=,即把两个向量的起点放在一起,这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的点为终点的向量.(2)平行四边形法则如图,作OA=a,OB=b,以OA、OB为边作平行四边形OACB,连接BA,则BA=a-b.从图中可以看出,一个向量减去另一个向量,等于此向量加上另一个向量的相反向量.(3)留意问题:两个向量的差是一个向量,当两个向量不相等时,相减得到的向量的方向指向被减向量,当两个向量相等时,差为零向量,方向是任意的;向量减法的实质是加法的逆运算,依据相反向量的定义,AB=-BA,就可以把减法化为加法,用三角形法则作向量减法时,只要记住连接两向量终点,箭头指向被减向量即可;以向量AB=a,AD=b为邻边作平行四边形ABCD,则AC=,BD=.1.若向量a表示向东走1 km,向量b表示向南走1 km,则向量a+b表示().A.向东南走2 kmB.向东南走2 kmC.向东北走2 kmD.向东北走2 km2.化简PM-PN+MN的结果().A.MPB.NPC.0D.MN3.在矩形ABCD中,若|AB|=3,|BC|=4,则|AB+AD|=.4.如图,已知不共线的向量a,b,求作向量a+b,a-b.向量的加、减运算化简:(AB-CD)-(AC-BD).向量的三角形法则与平行四边形法则的运用已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,若AB=a,BC=b,OD=c,证明:c+a-b=OB.与零向量有关的问题若向量满足关系式|a+b|=|a-b|,则下列结论中正确的是().A.以a,b为邻边的四边形是矩形B.a,b中至少有一个零向量或abC.a,b中至少有一个零向量D.a,b均为零向量化简下列各式:AB+BC+CA;OA-OD+AD;AB+CA-BD-CD;MN+QP-MP+NQ.结果为零向量的序号是.如图,在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.(1)用a、b表示向量AC,DB.(2)当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?(3)当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?(1)已知O是四边形ABCD内的一点,若OA+OB+OC+OD=0,则下列结论中正确的是().A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点(2)若向量a,b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为,|a-b|的最大值为.1.在ABC中,BC=a,CA=b,则AB等于().A.a+bB.a-bC.-a-bD.b-a2.下面四个式子中不能化简到AD的是().A.MB-DA-BMB.NC-NA+CDC.(AD-BM)+(BC-MC)D.(AB-DC)+BC3.在ABC中,|AB|=|BC|=|CA|=1,则|AB-AC|的值为.4.化简(AB-CD)+(BE-DE).(2021年广东卷)设a是已知的平面对量且a0.关于向量a的分解,有如下四个命题:给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;给定向量b和c,总存在实数和,使a=b+c;给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使a=b+c.给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使a=b+c.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是().A.1B.2C.3D.4考题变式(我来改编):答案第2课时向量的加法与减法学问体系梳理问题1:求两个向量的和和向量-aa零向量零向量0-b-a0(-b)减法问题2:AC=a+b问题3:(1)b+a(2)(b+c)问题4:终点指向(1)a-b终(2)a+bb-a基础学习沟通1.A依据三角形或平行四边形法则,可知向量a+b表示向东南走2 km.2.CPM-PN+MN=NM+MN=0.3.5由题意,可知AB+AD=AC,|AC|=AB2+BC2=32+42=5.4.解:(法一)如图,设a=AB,b=CD,过点B作BE=CD=b,则依据向量加法的三角形法则可得AE=AB+BE=a+b.在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=OA-OB=a-b.(法二)如图,设a=AB,过点A作AF=CD=b,再依据向量加法的平行四边形法则,可得以AB、AF为邻边作出平行四边形的对角线AE=a+b,设a=OA,过点O作OB=b,OB=-b,依据向量的平行四边形法则,可得以OA、OB为边作出平行四边形的对角线OC=a+(-b)=a-b.重点难点探究探究一:【解析】(法一)(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0.(法二) (AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0.(法三)设O为平面内任意一点,则有(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=(OB-OA)-(OD-OC)-(OC-OA)+(OD-OB)=OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=0.【小结】在化简向量时可以利用三角形法则或平行四边形法则,特殊是当含有减法时,可以从不同的角度来考虑:利用相反向量,可将减法看成加法的逆运算进行求解;把需要化简的两个向量化成起点相同的向量,再利用三角形法则或平行四边形法则进行化简;将全部的向量都化成是同一个起点的向量,再进行化简.探究二:【解析】(法一)c+a=OD+AB=OD+DC=OC,OB+b=OB+BC=OC,c+a=OB+b,即c+a-b=OB.(法二)c+a-b=OD+AB-BC=OD+AB+CB.在平行四边形ABCD中,AB=DC,CB=DA,AB+CB=DC+DA=DB.c+a-b=OD+DB=OB.【小结】充分利用向量加法的定义和三角形法则,结合平行四边形本身的特点,将一些不能明显做加、减运算的向量进行化简,是解决本题的关键,同时也要留意证明问题的方法.探究三:【解析】当a,b均为非零向量时,由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知,a+b与a-b分别是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线,由|a+b|=|a-b|知,这个平行四边形的对角线长度相等,故以a,b为邻边的平行四边形是矩形,则ab.问题a,b肯定是非零向量吗?结论a,b不肯定是非零向量,故要考虑a,b为零向量时的情形,因此,正确选项是B.【答案】B思维拓展应用应用一:AB+BC+CA=AC+CA=0;OA-OD+AD=DA+AD=0;AB+CA-BD-CD=CA+AB-BD-CD=CB-BD-CD=CB-CD-BD=DB-BD=2DB;MN+QP-MP+NQ=MN+NQ+QP-MP=MQ+QP-MP=MP-MP=0.应用二:(1)AC=a+b,DB=a-b.(2)若a+b与a-b垂直,即平行四边形的两条对角线相互垂直,则平行四边形为菱形,故a、b应满足|a|=|b|.(3)|a+b|=|a-b|表示平行四边形的两条对角线的长度相等,所以平行四边形为矩形,故a、b应满足ab.应用三:(1)D(2)420(1)假如四边形ABCD为正方形,点O是四边形ABCD的中心,则必有OA+OB+OC+OD=0,但是反过来由OA+OB+OC+OD=0,却推不出四边形ABCD为正方形,点O也就可能不是四边形ABCD的中心,结合图形并可通过举反例逐个排解,正确的只有D. (2)设a=AB,b=AC,则当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|,|a-b|=|a|-|b|.当a与b反向时,|a+b|=|a|-|b|,|a-b|=|a|+|b|.当a与b不共线时,|a|-|b|a+b|a|+|b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|,如图所示.因此,当a与b共线且反向时,|a+b|取得最小值,且为12-8=4;当a与b共线且反向时,|a-b|取得最大值,且为12+8=20.基础智能检测1.CAB=CB-CA=-a-b.2.A对于A,MB-DA-BM=MB+AD+MB=2MB+AD.对于B,NC-NA+CD=AC+CD=AD.对于C,(AD-BM)+(BC-MC)=AD-BM+BC-MC=AD+(MB+BC)+CM=AD+MC+CM=AD.对于D,(AB-DC)+BC=AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.故选A.3.1在ABC中,由AB-AC=CB,|AB-AC|=|CB|=1.4.解:(AB-CD)+(BE-DE)=AB-CD+BE-DE=(AB+BE)-(CD+DE)=AE-CE=AC.全新视角拓展B命题正确,由于对于非零向量a,任意给定向量b,均存在a-b,即存在向量c;利用平面对量基本定理易知命题正确;命题不正确,若|a|=2,给定的单位向量b满足ab=0,=1时,对任意的,c恒有|a-b|=2+22,|c|=1,即a-b=c,不行能成立;命题不正确,若|a|=3,=1,则不存在单位向量b,c满足a=b+c,由于|b+c|+=2,所以ab+c.思维导图构建三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)a+b=b+a三角形法则平行四边形法则