2021高中数学北师大版必修四导学案：《二倍角的正弦、余弦和正切》.docx

第5课时二倍角的正弦、余弦和正切1.能够依据和角的正弦公式、余弦公式、正切公式导出二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式.2.能够依据倍角公式得出半角公式,了解倍角公式和半角公式的内在联系.3.能够使用倍角公式进行简洁的三角恒等变换.2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,你能求出sin2-cos2的值吗?问题1:二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2=(为任意角);(2)cos 2=cos2-=-1=1-(为任意角);(3)tan 2=(+k,且4+,kZ).问题2:半角的正弦、余弦、正切公式sin2=;cos2=;tan2=.问题3:如何依据倍角公式导出半角公式?单角和倍角是相对的,是2的倍角,在问题1中假如使用这个关系,则得到cos22=1+cos2,sin22=1-cos2,把这个式子开方得cos2=1+cos2,sin2=1-cos2,再依据同角三角函数关系可得tan2=1-cos1+cos,符号由2所在象限打算.对正切的半角公式又有tan2=sin2cos2=2sin222sin2cos2=1-cossin=sin1+cos,这组公式称为半角公式.问题4:二倍角公式与和(差)角公式有什么内在联系?1.sin 12cos 12的值为().A.14B.34C.12D.322.1+cos2等于().A.-2cos 1 B.2cos 1C.cos 1-sin 1D.sin 1-cos 13.tan22.51-tan222.5=.4.请回答创设情境中的问题.直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值将下列三角函数式进行化简或求值:(1)8sin48cos48cos24cos12;(2)11-tan-11+tan;(3)(sin512+cos512)(sin512-cos512);二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用已知sin +cos =355,(0,4),sin(-4)=35,(4,2).(1)求sin 2和tan 2的值;(2)求cos(+2)的值.已知角的某种三角函数值求值或角已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根分别为tan ,tan ,且,(-2,2),则tan+2的值是.将下列三角函数式进行化简或求值:(1)2cos4x-2cos2x+122tan(4-x)sin2(4+x);(2)(1+sin+cos)(sin 2-cos 2)2+2cos(0).已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间8,34上的最小值和最大值.已知tan(-)=12,tan =-17,且,(0,),求2-的值.1.已知sin 2=23,则cos2(+4)=().A.16B.13C.12D.232.若ABC的内角A满足sin 2A=23,则sin A+cos A的值为().A.153B.-153C.53D.-533.化简cos2(+15)+cos2(-15)-32cos 2=.4.函数f(x)=12cos 2x+sin x,求f(x)在区间-4,4上的最小值.(2022年四川卷)已知函数f(x)=cos2x2-sinx2cosx2-12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f()=3210,求sin 2的值.考题变式(我来改编):答案第5课时二倍角的正弦、余弦和正切学问体系梳理问题1:(1)2sin cos (2)sin22cos22sin2(3)2tan1-tan22k2问题2:1-cos21+cos21-cos1+cossin1+cos1-cossin问题4:sin(+)cos(+)sin(-)cos(-)tan 2tan(+)tan(-)基础学习沟通1.Asin 12cos 12=12(2sin 12cos 12)=12sin(212)=12sin 6=14.2.B010,1+cos2=1+(2cos21-1)=2cos21=2cos 1.3.12原式=12(2tan22.51-tan222.5)=12tan(222.5)=12tan 45=12.4.解:在RtBCG中,设|CG|=x,由于BCGABF,所以|BF|=x.由题意知,|BC|=1,|GF|=15,而|CG|2+|BG|2=|BC|2,x2+(15+x)2=1,x=35,sin =x=35,sin2-cos2=2sin2-1=2(35)2-1=-725.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式=4sin 24cos 24cos 12=2sin 12cos 12=sin 6=12.(2)原式=2tan1-tan2=tan 2.(3)原式=sin2512-cos2512=-cos 56=32.【小结】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要擅长抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.由二倍角或半角公式可直接求值,留意公式的正确使用.探究二:【解析】(1)由题意得(sin +cos )2=95,即1+sin 2=95,sin 2=45.又2(0,2),cos 2=1-sin22=35,tan 2=sin2cos2=43.(2)(4,2),-4(0,4),sin(-4)=35,cos(-4)=45,sin 2(-4)=2sin(-4)cos(-4)=2425,又sin 2(-4)=-cos 2,cos 2=-2425,又2(2,),sin 2=725.cos2=1+cos22=45,(0,4),cos =255,sin =55.cos(+2)=cos cos 2-sin sin 2=255(-2425)-55725=-11525.【小结】在运用二倍角或半角公式进行化简或求值时,要留意角的范围,以免消灭多解、漏解.探究三:【解析】由韦达定理得,tan +tan =-4a,tan tan =3a+1,tan(+)=tan+tan1-tantan=-4a1-(3a+1)=43,又tan(+)=2tan+21-tan2+2=43,整理,得2tan2+2+3tan+2-2=0,又,(-2,2),+(-,),+2(-2,2),tan+2=-2或tan+2=12.问题tan+2=12吗?结论tan+212,a1,tan +tan =-4a0,tan 0,tan 1,tan +tan =-4a0,tan 0,tan 0.又,(-2,2),得,(-2,0),+(-,0),+2(-2,0).又tan(+)=tan+tan1-tantan=-4a1-(3a+1)=43,tan(+)=2tan+21-tan2+2=43,整理,得2tan2+2+3tan+2-2=0,解得tan+2=-2或tan+2=12(舍去).【答案】-2【小结】一些不能直接求值的三角函数,可通过变形或整体代换,再利用二倍角或半角公式等进行变形、简化,达到求值的目的.思维拓展应用应用一:(1)原式=12(2cos2x-1)22tan(4-x)cos2(4-x)=cos22x4cos(4-x)sin(4-x)=cos22x2sin(2-2x)=12cos 2x.(2)由于0,所以022,所以原式=(2sin 2cos 2+2cos22)(sin 2-cos 2)2cos22=2cos 2(sin22-cos22)2cos 2=-cos .应用二:(1)f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-4),函数f(x)的最小正周期为22=.(2)f(x)=2sin(2x-4)在区间8,38上为增函数,在区间38,34上为减函数,又f(8)=0,f(38)=2,f(34)=2sin(32-4)=-2sin4=-1,函数f(x)在区间8,34上的最大值为2,最小值为-1.应用三:由于tan 2(-)=2tan(-)1-tan2(-)=43,所以tan(2-)=tan2(-)+=tan2(-)+tan1-tan2(-)tan=1,又tan =tan(-)+=tan(-)+tan1-tan(-)tan=13,由于(0,),所以04,又2,所以-2-0,所以2-=-34.基础智能检测1.Acos2(+4)=1+cos(2+2)2=1-sin22=16,故选A.2.Asin 2A=2sin Acos A=23,0A0,cos A0,sin A+cos A=(sinA+cosA)2=1+sin2A=1+23=153.3.1cos2(+15)+cos2(-15)-32cos 2=1+cos2(+15)2+1+cos2(-15)2-32cos 2=1+12cos(2+30)+cos(2-30)-32cos 2=1+12cos 2cos 30-sin 2sin 30+cos 2cos 30+sin 2sin 30-32cos 2=1+122cos 2cos 30-32cos 2=1.4.解:f(x)=12cos 2x+sin x=12(1-2sin2x)+sin x=-sin2x+sin x+12=-(sin x-12)2+34.令t=sin x,则由-4x4得,-22t22,依据二次函数y=-(t-12)2+34的性质得当t=-22时,y取最小值-22.全新视角拓展(1)由已知可得,f(x)=cos2x2-sinx2cosx2-12=12(1+cos x)-12sin x-12=22cos(x+4).所以f(x)的最小正周期为2,值域为-22,22.(2)由(1)知,f()=22cos(+4)=3210,所以cos (+4)=35.所以sin 2=-cos(2+2)=-cos 2(+4)=1-2cos2(+4)=1-1825=725.思维导图构建1-cos21+cos21-cos1+cossin1+cos1-cossin