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第1课时 数列的概念与简洁表示法
1.了解数列的概念和几种简洁的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法).
2.通过对简洁数列的观看与分析归纳,生疏数列是反映自然的基本数学模型.
3.能简洁地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系.
(1)国际象棋的传奇:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在其次个小格内放两粒,在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍.
(2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.
(3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿.
问题1:数列的定义:按 排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每一个数都叫作这个 ,各项依次叫作这个数列的第1项(或首项),第2项……第n项……
通项公式:假如数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.
问题2:数列的分类:(1)按项数分类: 和 .
(2)按数列的单调性分类: 、 及 .
(3)一个数列,假如从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫 .
问题3:数列中的项与集合中的元素相比较异同如下:
相同点:数列中的每一项都是 、集合中的每一个元素都是 .
不同点:
重复性:数列中的某些项可以 、集合中的每一个元素都 .
有序性: 数列中的项 、集合中的元素 .
范围: 数列中的每一项都是 、集合中的元素可以 .
问题4:数列的表示方法: 、 、 及 .数列的前n项和记作Sn= .
1.把自然数的前五个数:①排成1,2,3,4,5;②排成5,4,3,2,1;③排成3,1,4,2,5;④排成2,3,1,4,5,那么可以叫作数列的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知数列{an}的通项公式为an=1+(-1)n+12,则该数列的前4项依次为( ).
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.12,0,12,0 D.2,0,2,0
3.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-1an,则a4= .
4.已知{an}满足a1=3,an+1=2an+1,试写出该数列的前5项,并用观看法写出这个数列的一个通项公式.
依据数列的前几项写出通项公式
写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,-1,1,-1,…;
(2)3,5,9,17,33,…;
(3)12,2,92,8,252,….
待定系数法求通项公式
已知数列{an}中,a1=3,a10=21,通项an是项数n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式,并求a2021;
(2)若{bn}是由a2,a4,a6,a8,…组成,试归纳{bn}的一个通项公式.
已知数列的单调性求参数
若an=n2+λn,且数列{an}为递增数列,则实数λ的取值范围是 .
写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,0,-13,0,15,0,-17,0,…;
(2)0.7,0.77,0.777,….
已知数列{an}中,a1=-1,a2=0且an=xn2+yn,求an.
已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
(1)数列中有多少项是负数?
(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
(3)设数列{an}的前n项和Sn,求Sn的最小值.
1.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该数列的( ).
A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.非任何一项
2.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( ).
A.an=n2-n+1 B.an=n(n-1)2 C.an=n(n+1)2 D.an=n2+1
3.已知数列{an}的通项公式为an=1n(n+2)(n∈N+),那么1120是这个数列的第 项.
4.数列{an}中,已知an=n2+n-13(n∈N+).
(1)写出a10,an+1;
(2)7923是否是数列中的项?假如是,是第几项?
(2009年·北京卷)已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N+,则a2009= ,a2022= .
考题变式(我来改编):
第一章 数 列
第1课时 数列的概念与简洁表示法
学问体系梳理
问题1:肯定次序 数列的项 an=f(n)
问题2:(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 常数列 (3)摇摆数列
问题3:确定的 确定的 重复 不能重复 有挨次 无挨次 数 不是数
问题4:列表法 图像法 通项公式法 递推公式法 a1+a2+…+an
基础学习沟通
1.D 依据数列定义得出答案D.
2.A 将n=1,2,3,4代入通项公式可知,应选A.
3.2 a2=12,a3=-1,a4=2.
4.解:∵a1=3,an+1=2an+1,∴a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,留意到:3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,
∴猜得an=2n+1-1.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)这是一个常用的摇摆数列,奇数项为正,偶数项为负,所以它的通项可以是an=(-1)n+1(n∈N+)或an=cos(n+1)π(n∈N+)或an=sin 2n-12π(n∈N+).
(2)观看发觉每项减1即为2的n次方,所以an=2n+1(n∈N+).
(3)统一写成分母为2的分数,发觉分子是n的平方,故an=n22(n∈N+).
【小结】已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下几个方面来考虑:
(1)对于正负交叉消灭的数列,符号用(-1)n与(-1)n+1来调整,这是由于n和n+1奇偶交叉.
(2)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要用观看、比较、归纳、转化等方法.
(3)对于分数形式的数列,分子、分母可分别找通项,并充分借助分子、分母的关系.
探究二:【解析】(1)设an=kn+b,
则k+b=3,10k+b=21,解得k=2,b=1.
∴an=2n+1(n∈N+),∴a2021=4031.
(2)又∵a2,a4,a6,a8,…即为5,9,13,17,…,∴bn=4n+1(n∈N+).
【小结】数列的通项公式an是关于n(n∈N+)的函数,即an=f(n).待定系数法是求通项公式的一种常用方法.
探究三:【解析】∵(n,an)(n∈N+)是函数f(x)=x2+λx图像上的点,且数列{an}为递增数列,
只需-λ2≤1,即λ≥-2,∴λ的取值范围是[-2,+∞).
[问题]递增数列是单调递增函数吗?
[结论]利用二次函数的单调性时,忽视了数列的离散型特征.数列{an}为递增数列,只要求满足a1<a2<…<an<…
于是,正确解答为:∵数列{an}是递增数列,且an=n2+λn,其对称轴x=-λ2既可以x≤1,也可以在 1<x<32之间,故-λ2<32,即λ>-3,∴λ的取值范围是(-3,+∞).
【答案】(3,+∞)
【小结】此题极易出错,考虑问题要全面.
思维拓展应用
应用一:(1)从原数列不能看出通项公式,但可改写为11,02,-13,04,15,06,….分母依次为1,2,3,4,…,分子依次为1,0,-1,0,…,呈周期性变化,可以用sinn2π表示,也可用cosn-12π表示,故an=sinnπ2n(n∈N+)或an=cosn-12πn(n∈N+).
(2)∵0.9,0.99,0.999,…的通项公式为an=1-110n(n∈N+),∴0.7,0.77,0.777,…的通项公式为an=79(1-110n)(n∈N+).
应用二:由a1=x+y=-1,a2=4x+2y=0,
可得x=1,y=-2.
∴an=n2-2n(n∈N+).
应用三:(1)由an=n2-5n+4<0得1<n<4,又n∈N+,
∴n=2,3,即数列中有2项是负数.
(2)an=(n-52)2-94(n∈N+),∴n=2,3时an最小,此时a2=a3=-2.
(3)由(1)(2)知a1=a4=0,a2=a3=-2,当n≥4时,an>0,∴S3,S4最小,且S3=S4=-4.
基础智能检测
1.C 由n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
2.C 令n=1,2,3,4,代入A、B、C、D检验即可.排解A、B、D,从而答案是C.
3.10 ∵1n(n+2)=1120,∴n(n+2)=10×12,∴n=10.
4.解:(1)a10=1093,an+1=n2+3n+13.
(2)设an=7923,即n2+n-13=2393,解得n=15或n=-16(舍去),即7923是数列中的第15项.
全新视角拓展
1 0 a2009=a4×503-3=1,a2022=a1007=a4×252-1=0.
思维导图构建
有序性 集合无序性
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