资源描述
第2课时 分步乘法计数原理
1.理解分步乘法计数原理.
2.能利用分步乘法计数原理分析和解决一些简洁的应用问题.
3.过程与方法:引导同学形成 “自主学习”、“合作学习”等良好的学习方式,培育同学的归纳概括力量.
某学校校长方案在下星期一到高二班级听两节课,已知该校上午上4节课,下午上3节课,若校长的听课的时间支配是上午听一节课,下午听一节课,那么该校长听课的时间支配有多少种?
问题1:(1)完成一件事要分两步进行,在第1步中有m种不同的方法,在第2步中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
(2)在情境中,该校校长的听课的时间支配总共有 种排法.
问题2:分步乘法计数原理
做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做其次步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有N= 种不同的方法.
问题3:理解分步乘法计数原理
分步乘法计数原理针对的是 问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当 都完成后,才算完成这件事.
问题4:利用分步乘法计数原理解决问题时应留意什么?
(1)要按大事发生的过程合理分步,即分步是有 挨次的.
(2)各步中的方法相互依存,缺一不行,只有各个步骤都完成才算完成这件事.
(3)对完成每一步的不同 要依据条件精确 确定.
1.3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多1张,则有不同分法的种数是( ).
A.1260 B.120 C.240 D.720
2.现有6名同学去听同时进行的5个课外学问讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( ).
A.56 B.65
C.5×6×5×4×3×22 D.6×5×4×3×2
3.现有高中一班级的同学4名,高中二班级的同学5名,高中三班级的同学3名,要从这三个班级中各选1人参与夏令营,有 种不同的选法.
4.用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字,以A1,A2,…,A9,B1,B2,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?
对分步乘法计数原理的概念的理解
植树节那一天,四位同学一起植树,若一棵树由一人植,现有三棵不同的树,则不同的植树方法有( ).
A.6种 B.24种 C.34种 D.43种
分步乘法计数原理的初步应用
给程序模块命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字1~9,最多可以给多少个程序模块命名?
分步乘法计数原理的提升应用
从0、1、2、3、4、5共六个数字中取四个数字组成一个四位数,问:
(1)总共能组成多少个四位数?
(2)在(1)中全部的四位数中,则能被5整除的四位数有多少个?
五名同学报名参与四项体育竞赛,每人限报一项,报名方法的种数为多少?
如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( ).
A.72种 B.48种
C.24种 D.12种
用0,1,2,3,4,5共6个数字,可以组成多少个没有重复数字的6位奇数?
1.从甲地去乙地有3班火车,从乙地去丙地有2班轮船,则从甲地去丙地可选择的旅行方式有( ).
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
2.将2名老师4名同学分成2个小组,分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动,每个小组由1名老师和2名同学组成,不同的支配方案共有( ).
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
3.某市交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法,每一个汽车牌照前3个号码由2个不重复的英文字母和一个阿拉伯数字组成,后3个号码由可以重复的3个阿拉伯数字组成.那么这种方法组成汽车牌照的总数是 .
4.有A,B,C三个城市,上午从A城去B城有5班汽车,2班火车,都能在12∶00前到达B城,下午从B城去C城有3班汽车,2班轮船.某人上午从A城动身去B城,要求12∶00前到达,然后他下午去C城,问有多少种不同的走法?
(2022年·大纲卷)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( ).
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
考题变式(我来改编):
第2课时 分步乘法计数原理
学问体系梳理
问题1:(1)m×n (2)12
问题2:m1×m2×…×mn
问题3:“分步” 各个步骤
问题4:(1)先后 (3)方法数
基础学习沟通
1.D 分三个步骤完成:分第1张票,有10种方法;分第2张票,有9种方法;分第3张票,有8种方法,共有10×9×8=720种分法.
2.A 由分步乘法计数原理得5×5×5×5×5×5=56,故选A.
3.60 完成“在三个班级中各选1人参与夏令营”这件事,可以分三步完成:第一步,从高中一班级的4名同学中任选1人,有4种不同的选法;其次步,从高中二班级的5名同学中任选1人,有5种不同的选法;第三步,从高中三班级的3名同学中任选1人,有3种不种的选法,依据分步乘法计数原理,共有4×5×3=60种不同的选法.
4.解:用列举法可以列出全部可能的号码:
我们还可以这样来思考:由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有 6×9=54 个不同的号码.
重点难点探究
探究一:【解析】利用分步乘法计数原理解决此题时,不少同学会搞错大事的主体,这里应当是把树植完,对植的树分步,而不是对人分步.所以,完成这件事分三步:第一步,植第一棵树,共有4种不同的方法;其次步,植其次棵树,共有4种不同的方法;第三步,植第三棵树,共有4种不同的方法.由乘法原理得N=4×4×4=43,故选D.
【答案】D
【小结】确定“分类”还是“分步”是解题的关键.利用分步乘法计数原理应首先确定分步的标准,分步就是使用某一步骤中的某种方法,并不能完成整个大事,而只有当依次完成全部步骤时,才能完成整个大事,即各个步骤是相互依存的.
探究二:【解析】先计算首字符的选法.由分类加法计数原理,首字符共有7+6=13种选法.
再计算可能的不同程序模块名称.由分步乘法计数原理,最多可以有13×9×9=1053个不同的名称,即最多可以给1053个程序模块命名.
【小结】按字符挨次分步,在选第一个字符时要分成两类,按加法、乘法原理来求.
探究三:【解析】(1)第一步:千位上的数不能取0,只能取1,2,3,4,5共5种情形;
其次步:由于千位取了一个数,还剩下5个数字供百位上取,所以有5种情形;
第三步:由于千位、百位分别取了一个数,还剩下4个数字供十位上取,所以有4种情形;
第四步:由于千位、百位、十位分别取了一个数,还剩下3个数字供个位上取,所以有3种情形.
依据分步乘法计数原理,取得的四位数总共有5×5×4×3=300个.
(2)由于四位数能被5整除,所以个位数字只能是0或5.
第一类情形:当个位数字为0时,
依次取千位数字、百位数字、十位数字,分别有5种情形、4种情形、3种情形,
所以共计有5×4×3=60个四位数.
其次类情形:当个位数字为5时,
依次取千位数字、百位数字、十位数字,分别有4种情形、4种情形、3种情形,
所以共计有4×4×3=48个四位数.
依据分类加法计数原理,能被5整除的四位数总共有60+48=108个.
【小结】在综合分类加法和分步乘法计数原理时,要留意分类、分步时不重不漏的原则,其次要留意分类、分步的挨次.
思维拓展应用
应用一:5名同学中任一名均可报其中的任一项,因此每个同学都有4种报名方法,5名同学都报了项目才能算完成这一大事.故报名方法种数为4×4×4×4×4=45种.
应用二:A 可分4步,从A到D,则A有4种涂法,B有3种涂法;由于C与A、B皆相邻,因此C有2种涂法;由于D只与C相邻,因此D有3种涂法,故不同的涂法共有4×3×2×3=72种.
应用三:分三步:①确定末位数字,从1,3,5中任取一个有3种方法;②确定首位数字,从另外的4个非零数字中任取一个有4种方法;③将剩余的4个数字排中间有4×3×2×1=24种排法,故共有3×4×24=288个六位奇数.
基础智能检测
1.B 分从甲地去乙地和乙地去丙地两步,由分步乘法计数原理知共有3×2=6种旅行方式.
2.A 分到甲地:第一步选1名老师有2种方法;其次步选2名同学有6种方法;第三步,剩下1名老师和2名同学分到乙地有1种方法,由分步乘法计数原理知共有2×6×1=12种方法,故选A.
3.19500000 将汽车牌照分为3类,第一类是前两个号码是字母,后四个号码是阿拉伯数字,其次类是第一个号码和第三个号码是字母,其次个号码和后三个号码是阿拉伯数字,第三类是其次个号码和第三个号码是字母,第一个号码和后三个号码是阿拉伯数字.
计算第一类的汽车牌照的数量方法如下:第1步,从26个字母中选1个,放在首位,有26种选法;第2步,从剩下的25个字母中选1个,放在第2位,有25种选法;第3步,后面四个号码,每一个号码都是从10个数字中选1个,都有10种选法;依据分步乘法计数原理,第一类的汽车牌照共有26×25×10×10×10×10=6500000个.同理,其次类和第三类的汽车牌照也有6500000个.所以,共能组成6500000×3=19500000个汽车牌照.
4.解:依据分类加法计数原理,上午从A城去B城,并在12:00前到达,共有5+2=7种不同的走法.下午从B城去C城,共有3+2=5种不同的走法.
依据分步乘法计数原理,上午从A城去B城,然后下午从B城去C城,共有7×5=35种不同的走法.
全新视角拓展
A 利用分步乘法计数原理,先填写左上角的数,有3种;再填写右上角的数,有2种;最终填写其次行第一列的数,有2种,一共有3×2×2=12种,故选A.
思维导图构建
“分步” 不重不漏 m1×m2×…×mn 分步
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