高中数学(北师大版)必修五教案：2.1-正弦定理-教学设计.docx

《正弦定理》教学设计
一、教学内容分析
本节内容支配在《一般高中课程标准试验教科书·数学必修5》（北师大版）其次章，正弦定理第一课时，是在高一同学学习了三角等学问之后，明显是对三角学问的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对学校解直角三角形内容的直接延长，因而定理本身的应用又格外广泛。
依据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次老师通过引导同学对实际问题的探究，并大胆提出猜想；其次层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最终进行简洁的应用。同学通过对任意三角形中正弦定理的探究、发觉和证明，感受“观看——试验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、擅长思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析
对于高一的同学来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等学问，有确定观看分析、解决问题的力气，但对前后学问间的联系、理解、应用有确定难度，因此思维机敏性受到制约。依据以上特点，老师恰当引导，提高同学学习主动性，多加以前后学问间的联系，带领同学直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
三、设计思想：
本节课接受探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在老师的启发引导下，以同学独立自主和合作沟通为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发觉和证明”为基本探究内容，为同学供应充分自由表达、质疑、探究、争辩问题的机会，让同学通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在学问的形成、进展过程中开放思维，逐步培育同学发觉问题、探究问题、解决问题的力气和制造性思维的力气。
四、教学目标：
1．让同学从已有的几何学问动身, 通过对任意三角形边角关系的探究，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导同学通过观看，试验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，把握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
2．通过对实际问题的探究，培育同学观看问题、提出问题、分析问题、解决问题的力气，增加同学的协作力气和沟通力气，进展同学的创新意识，培育制造性思维的力气。
3．通过同学自主探究、合作沟通，亲身体验数学规律的发觉，培育同学勇于探究、擅长发觉、不畏艰辛的创新品质，增加学习的成功心理，激发学习数学的爱好。
4．培育同学合情合理探究数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
五、教学重点与难点
教学重点：正弦定理的发觉与证明；正弦定理的简洁应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
教学预备：制作多媒体课件，同学预备计算器，直尺，量角器。
六、教学过程：

（一）结合实例，激发动机
师生活动：
老师：呈现情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后连续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，假如船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？
同学：思考提出测量角A，C （图1）
老师：若已知测得， ，要计算A、B两地距离，你有方法解决吗？
同学：思考沟通，画一个三角形，使得为6cm，，
，量得距离约为4.9cm，利用三角形相像性质可知AB约为
490m。
老师：对，很好，在学校，我们学过相像三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？
师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
。 老师：引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？
同学：思考，沟通，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，同学阐述，老师板书。
解：过作于

（图2）
在中，

，

在中，

老师：表示对同学观赏，那么刚才解决问题的过程中，若，，能否用、、表示呢？
老师：引导同学再观看刚才解题过程。
同学：发觉，

老师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发觉什么？
同学：发觉即然有，那么也有，。
老师：引导 ，，，我们习惯写成对称形式，，，因此我们可以发觉，是否任意三角形都有这种边角关系呢？
设计意图：爱好是最好的老师。假如一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从同学日常生活中的实际问题引入，激发同学思维，激发同学的求知欲，引导同学转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜想性的结论——猜想，培育同学从特殊到一般思想意识，培育同学制造性思维力气。
（二）数学试验，验证猜想
老师：给同学指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。
（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：1，对应角的正弦值分别为，，，引导同学考察，，的关系。（同学回答它们相等）
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：，对应角的正弦值分别为，，1；（同学回答它们相等）
（3）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：：2，对应角的正弦值分别为，，1。（同学回答它们相等）（图3）

（图3）
老师：对于呢？
同学：思考沟通得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
B
a
A
C
c
b
(图4)
则有，，又,
则
从而在直角三角形ABC中，

老师：那么任意三角形是否有呢？同学按事先支配分组，出示试验报告单，让同学阅读试验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（假犹如学没有问题，老师让同学动手计算，附试验报告单。）
同学：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过试验数据计算，比较、、的近似值。
老师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，、、值照旧保持相等。
我们猜想：==
设计意图：让同学体验数学试验，激起同学的奇异   心和求知欲望。同学自己进行试验，体会到数学试验的归纳和演绎推理的两个侧面。
（三）证明猜想，得出定理
师生活动：
老师：我们虽然经受了数学试验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探究过程对我们有没有启发？同学分组争辩，每组派一个代表总结。（以下证明过程，依据同学回答状况进行叙述）
同学：思考得出
①在中，成立，如前面检验。
②在锐角三角形中，如图5设，，
作：，垂足为
在中，

（图5）
在中，

同理，在中，

③在钝角三角形中，如图6设为钝角，，，
作交的延长线于

（图6）
在中，

在中，

同锐角三角形证明可知

老师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

还有其它证明方法吗？
同学：思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由学校所学过的面积公式可以得出：，
而由图中可以看出：，，

=
=
等式中均除以后可得，
即。
老师边分析边引导同学，同时板书证明过程。
(图7)
A
B
C
D
E
F
b
a
c
（图7）

在刚才的证明过程中大家是否发觉三角形高，三角形的面积：，能否得到新面积公式
同学：
得到三角形面积公式
老师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、、都等于同一个比值，那么它们也相等，这个到底有没有什么特殊几何意义呢？

（图8）
同学：在前面的检验中，中，，恰为外接接圆的直径，即，所以作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。
证明：连续并延长交圆于
，
在中，

即
同理可证：，

老师：从刚才的证明过程中, ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他学问来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为亲热的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？
同学：思考（联系作高的思想）得出：
在锐角三角形中，，作单位向量垂直于，

（图9）

即

同理：

对于钝角三角形，直角三角形的状况作简洁交代。
老师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有爱好的同学回家再探究。
设计意图：经受证明猜想的过程，进一步引导启发同学利用已有的数学学问论证猜想，力图让同学体验数学的学习过程。
（四）利用定理，解决引例
师生活动：
老师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。
同学：马上得出
在中，

（五）了解解三角形概念
设计意图：让同学了解解三角形概念，形成学问的完整性
老师：一般地，把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。
设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让同学体会用新的学问，新的定理，解决问题更便利，更简洁，激发同学不断探究新学问的欲望。
（六）运用定理，解决例题
师生活动：
老师：引导同学从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
同学：争辩正弦定理可以解决的问题类型：
①假如已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；
②假如已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。
师生：例1的处理，先让同学思考回答解题思路，老师板书，让同学思考主要是突出主体，老师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让同学把握分类争辩的数学思想，可先让中等同学讲解解题思路，其他同学补充沟通。
用实物投影仪呈现同学中解题步骤规范的解答。
设计意图：自己解决问题，提高同学学习的热忱和动力，使同学体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要争辩”的主动学习。
（七）尝试小结：
老师：提示引导同学总结本节课的主要内容。
同学：思考沟通，归纳总结。
师生：让同学尝试小结，老师准时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类争辩的数学思想。
设计意图：通过同学的总结，培育同学的归纳总结力气和语言表达力气。
（八）作业设计
作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。
思考题：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分别改为，并解三角形，观看解的状况并解释毁灭一解，两解，无解的缘由。
课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜寻，了解关于正弦定理的进展及应用（相关网址：）
七、设计思路：
本节课，同学在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在老师预设的思路中，同学乐观主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观看——试验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发觉并证明定理，让同学经受了学问形成的过程，感受到创新的欢快，激发同学学习数学的爱好。其次，以问题为导向设计教学情境，促使同学去思考问题，去发觉问题，让同学在“活动”中学习，在“主动”中进展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
1、 结合实例，激发动机
数学源于现实，从同学日常生活中的实际问题引入，激发同学学习的爱好，引导启发同学利用已有的学问解决新的问题，方法一通过相像三角形相像比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发觉新学问，提出猜想，使同学在观看、试验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。
2、数学试验，验证猜想
通过特例检验，让同学动手试验，提高了同学试验操作、分析思考和抽象概括的能，激发同学的奇异   心和求知欲望，体会到数学试验的归纳和演绎推理的两个侧面。
3、证明猜想，得出定理
引导启发同学从角度进行证明定理，呈现自己的学问，培育同学解决问题的力气，增加学习的爱好，爱好，在学问的形成、进展过程中开放思维，培育推理的意识。