高中数学(北师大版)必修五教案：2.1-例题解析：正余弦定理.docx

正余弦定理例题解析
例1．在△ABC中，假如a＝18，b＝24，A＝，则此三角形解的状况为( B ).
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定
解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选B
例2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝，则c等于( C ).
A. 2 B. C. 2或 D. 以上都不对
解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选C
例3．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是( B ).
A. B. C. D.
解：设a＝3k，b＝5k，c＝7k，由余弦定理易求得cosC＝-，所以最大角C为.
例4．(1) 在△ABC中，若B＝，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是_____.
(2) △ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是_____.
解：(1) sinC＝，于是C＝或，故A＝或，
由S△ABC＝可得答案2或.
(2) 如图所示，由已知得BC＝2AB，又
∴ sinC＝≤ 又∵ 0＜C＜A ∴ 0＜C≤
例5．在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A＝2absinC
证明：由正弦定理知
故原式成立.
例6．在锐角三角形ABC中，A，B，C是其三个内角，记 求证：S＜1
证明： ∵
∵ ，∴ ，∴ cotB＜tanA即＞1，∴ S＜1.
例7．在△ABC中，假如lga-lgc＝lgsinB＝-lg，且B为锐角，推断此三角形的外形.
解：由lga-lgc＝lgsinB＝-lg，得 sinB＝，
又B为锐角，∴ B＝，又 得，
∴ sinC＝2sinA＝2sin(-C)， ∴ sinC＝sinC+cosC，
∴ cosC＝0 即C＝， 故此三角形是等腰直角三角形.
例8．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边.
① 若△ABC面积为，c＝2，A＝，求b，a的值.
② 若acosA＝bcosB，试推断△ABC的外形，证明你的结论.
解：① 由已知得，∴ b＝1.
由余弦定理a2＝b2+c2-2bccosA＝3，∴ a＝.
② 由正弦定理得：2RsinA＝a，2RsinB＝b，
2RsinAcosA＝2RsinBcosB 即sin2A＝sin2B，
由已知A，B为三角形内角，∴ A+B＝或A＝B，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.
例9．如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2, AC＝，∠BAD＝，求梯形的高.
解:作DE⊥AB于E， 则DE就是梯形的高.
∵ ∠BAD＝， ∴ 在Rt△AED中，有DE=AD ＝，即 DE＝AD. ①
下面求AD(关键)：
∵ AB∥CD，∠BAD＝， ∴ 在△ACD中，∠ADC＝，
又∵ CD＝2, AC＝，∴
即
解得AD＝3，(AD＝-5，舍).
将AD＝3代入①， 梯形的高
例10．如图所示, 在△ABC中，若c＝4, b＝7，BC边上的中线AD＝, 求边长a.
解：∵ AD是BC边上的中线，∴ 可设CD＝DB＝x.
∵ c＝4, b＝7, AD＝, ∴ 在△ACD中，有
在△ACB中，有∴
∴ x＝, ∴ a＝2x＝9.