1、学案25平面对量及其线性运算导学目标: 1.了解向量的实际背景.2.理解平面对量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.把握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.把握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义自主梳理1向量的有关概念(1)向量的定义:既有_又有_的量叫做向量(2)表示方法:用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,或用,表示(3)模:向量的_叫向量的模,记作_或_(4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向是_(5)单位向量:长度为_单位长度的向
2、量叫做单位向量与a平行的单位向量e_.(6)平行向量:方向_或_的_向量;平行向量又叫_,任一组平行向量都可以移到同始终线上规定:0与任一向量_(7)相等向量:长度_且方向_的向量2向量的加法运算及其几何意义(1)已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的 ,记作 ,即 =+= ,这种求向量和的方法叫做向量加法的 .(2)以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OACB,则以O为起点的对角线就是a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 . (3)加法运算律ab_ (交换律);(ab)c_(结合律)3向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a_、_的向量,
3、叫做a的相反向量,记作_(2)向量的减法定义aba_,即减去一个向量相当于加上这个向量的_如图,a,b,则 ,_.4向量数乘运算及其几何意义(1)定义:实数与向量a的积是一个向量,记作_,它的长度与方向规定如下:|a|_;当0时,a与a的方向_;当0时,a与a的方向_;当0时,a_.(2)运算律设,是两个实数,则(a)_.(结合律)()a_.(第一支配律)(ab)_.(其次支配律)(3)两个向量共线定理:向量b与a (a0)共线的充要条件是存在唯一一个实数,使ba.5重要结论()G为ABC的_;0P为ABC的_自我检测1.(2010四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,16,|,|则
4、|等于 ()A8B4C2D12下列四个命题:对于实数m和向量a,b,恒有m(ab)mamb;对于实数m和向量a,b (mR),若mamb,则ab;若mana (m,nR,a0),则mn;若ab,bc,则ac,其中正确命题的个数为 ()A1B2C3D43.在ABCD中,a,b,3,M为BC的中点,则等于 ()AabBabCabDab4.(2010湖北)已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m,成立,则m等于 ()A2B3C4D55.(2009安徽)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若,其中、R,则_.探究点一平面对量的有关概念辨析例1有向线段就是向量,向量就是有向线段;向
5、量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;向量与向量共线,则A、B、C、D四点共线;假如ab,bc,那么ac.以上命题中正确的个数为 ()A1B2C3D0变式迁移1下列命题中正确的有_(填写全部正确命题的序号)|a|b|ab;若ab,bc,则ac;|a|0a0;若A、B、C、D是不共线的四点,则四边形ABCD是平行四边形探究点二向量的线性运算例2(2011开封模拟)已知任意平面四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点.求证:()变式迁移2(2011深圳模拟)如图所示,若四边形ABCD是一个等腰梯形,ABDC,M、N分别是DC、AB的中点,已知a,b,c,试用a、b、c表示,.探究点三共
6、线向量问题例3 如图所示,平行四边形ABCD中,b,a,M为AB中点,N为BD靠近B的三等分点,求证:M、N、C三点共线.变式迁移3设两个非零向量e1和e2不共线(1)假如e1e2,3e12e2,8e12e2,求证:A、C、D三点共线;(2)假如e1e2,2e13e2,2e1ke2,且A、C、D三点共线,求k的值1.若点P为线段AB的中点,O为平面内的任意一点,则()如图所示2证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应留意向量与三点共线的区分与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线3三点共线的性质定理:(1)若平面上三点A、B、C共线,则.(2)若平面上三点A、B、C共线,O为不同于
7、A、B、C的任意一点,则,且1. (满分:75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ()A.D. 2.设a,b为不共线向量, a2b,4ab,5a3b,则下列关系式中正确的是 ()A.B.2C.D.23(2011杭州模拟)设a,b是任意的两个向量,R,给出下面四个结论:若a与b共线,则ba;若ba,则a与b共线;若ab,则a与b共线;当b0时,a与b共线的充要条件是有且只有一个实数1,使得a1b.其中正确的结论有 ()ABCD4.在ABC中,c,b,若点D满足2,则等于 ()A.bcB.cbC.bcD.bc5.(2010广东中山高三六校联
8、考)在ABC中,已知D是AB边上一点,2,则等于 ( )A.B. C D题号12345答案二、填空题(每小题4分,共12分)6.(2009湖南)如下图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若xy,则x_,y_.7.已知a,b,则_.8. (2011青岛模拟)O是平面上一点,A,B,C是平面上不共线三点,动点P满足(),时,则()的值为_三、解答题(共38分)9(12分)若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,tb,(ab)三向量的终点在同一条直线上?10.(12分)在ABC中,BE与CD交于点P,且a,b,用a,b表示.11(14分)(2011黄山模拟)已知点G是A
9、BO的重心,M是AB边的中点(1)求;(2)若PQ过ABO的重心G,且,a,b,ma,nb,求证:3.答案 自主梳理1.(1)大小 方向 (2)有向线段 (3)长度 |a|(4)任意的(5)1个(6)相同相反非零共线向量平行(7)相等相同2.(1)和abab三角形法则(2)平行四边形法则(3)baa(bc)3.(1)长度相等方向相反a(2)(b)相反向量abab4.(1)a|a|相同相反0(2)()aaaab5.(1)重心(2)重心自我检测1.2C依据实数与向量积的运算可推断其正确;当m0时,mamb0,但a与b不愿定相等,故错误;正确;由于向量相等具有传递性,故正确3.A 由3得433(ab
10、),又ab,所以(ab)ab.4B由题目条件可知,M为ABC的重心,连接AM并延长交BC于D,则,由于AD为中线,2m,即2m,联立可得m3.5.解析 设a,b,那么ab,ab,又ab,(),即,.课堂活动区例1D不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段;不正确,若a与b中有一个为零向量时也相互平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量方向不愿定相同或相反;不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;不正确,假如b0时,则a与c不愿定平行所以应选D.变式迁移1解析模相同,方向不愿定相同,故不正确;两向量相等,要满足模相等且方向相同,故向量相等具备传递性,正确;只有零向量的模才为0,
11、故正确;,即模相等且方向相同,即平行四边形对边平行且相等故正确故应选.例2证明方法一如图所示,在四边形CDEF中,0.在四边形ABFE中,0.得()()()()0.E、F分别是AD、BC的中点,0,0.2,即()方法二取以A为起点的向量,应用三角形法则求证E为AD的中点,.F是BC的中点,()又,()()()()即()变式迁移2 解 例3解题导引(1)在平面几何中,向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示,向量共线应存在实数使两向量能相互表示(2)向量共线的推断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而相互表示,从而推断共线证明 在ABD中.由于a, b,所以ba.由共线向量定理知:,
12、又与有公共点C,M、N、C三点共线变式迁移3 (1)证明e1e2,3e12e2,8e12e2,e1e23e12e24e1e2(8e12e2) 与共线又与有公共点C,A、C、D三点共线(2)(e1e2)(2e13e2) 3e12e2,A、C、D三点共线,与共线从而存在实数使得即3e12e2(2e1ke2)由平面对量的基本定理得解之,得k的值为.课后练习区1B由减法的三角形法则知.3D题目考查两向量共线的充要条件,此定理应把握好两点:(1)与相乘的向量为非零向量,(2)存在且唯一故正确 5. 61解析作DFAB交AB的延长线于F,设ABAC1BCDE,DEB60,BD.由DBF45,得DFBF,所
13、以,所以().7.aba(ba)ab.80解析 由(),得(),即点P为ABC中BC边的中点,0.()00.9解 设a,tb,(ab),ab,(4分)tba.(6分)要使A、B、C三点共线,只需,即abtba,(8分)(11分)当t时,三向量终点在同始终线上(12分)10解取AE的三等分点M,使|AM|AE|,连结DM.设|AM|t,则|ME|2t.又|AE|AC|,|AC|12t,|EC|9t,(4分)DMBE,.|DP|DC|.(8分)()ab.(12分)11(1)解点G是ABO的重心,0.(2分)(2)证明M是AB边的中点,(ab)G是ABO的重心,(ab)P、G、Q三点共线,且有且只有一个实数,使.(5分),(m)aba(n)b(8分)又由于a、b不共线,所以,(10分)消去,整理得3mnmn,故3.(14分)